東北大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$u=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7},v=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7},x=u-v$$ とおく。このとき $$uv=\sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)}=\sqrt[3]{50-49}=1$$ である。また $$u^3-v^3=(5\sqrt{2}+7)-(5\sqrt{2}-7)=14$$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^3}& {\displaystyle =(u-v{)}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u^3-v^3-3uv(u-v)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =14-3x}\end{array}$$である。よって$x$は $x^3+3x-14=0$ の解である。

(2)

(1) で得た3次方程式を因数分解すると $$x^3+3x-14=(x-2)(x^2+2x+7)$$ である。2次式について $x^2+2x+7=(x+1{)}^2+6>0$ であるから，実数解をもたない。したがって実数解は $x=2$ だけである。

もとの $\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$ は実数であり，(1)の3次方程式の解である。実数解はただ1つなので，その値は2である。よって $$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2$$ が示された。

$(1+\sqrt{2}{)}^3$ と $(\sqrt{2}-1{)}^3$ を展開し，2つの3乗根を直接簡単化する．誘導とは別の短い検算になる．

展開すると$$(1+\sqrt{2}{)}^3=1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}$$であり，$$(\sqrt{2}-1{)}^3=2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1=5\sqrt{2}-7$$である．$1+\sqrt{2}>0$，$\sqrt{2}-1>0$ だから，実数の3乗根を取って$$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}=1+\sqrt{2},\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\sqrt{2}-1.$$したがって$$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=(1+\sqrt{2})-(\sqrt{2}-1)=2$$である．