東北大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

$P(x)$を$(x-a)(x-b)$で割った商と余りをそれぞれ$Q(x),R(x)$とする。同じ商と余りが$(x-c)(x-d)$で割ったときにも得られると仮定する。このとき $$P(x)=Q(x)(x-a)(x-b)+R(x)$$ であり，同時に $$P(x)=Q(x)(x-c)(x-d)+R(x)$$ である。両式を引くと $$Q(x)\{(x-a)(x-b)-(x-c)(x-d)\}=0$$ である。

$P(x)$は$x^3$の項の係数が1である3次式であり，割る式はいずれも$x^2$の項の係数が1である2次式である。したがって商$Q(x)$は$x$の項の係数が1である1次式であり，零式ではない。よって $(x-a)(x-b)=(x-c)(x-d)$ でなければならない。

2次式を展開して係数を比較すると $a+b=c+d,ab=cd$ である。これは，2つの2次方程式 $$(X-a)(X-b)=0,(X-c)(X-d)=0$$ が同じ解の組をもつことを意味する。したがって集合として $\{a,b\}=\{c,d\}$ である。さらに$a<b$，$c<d$なので，小さい方どうし，大きい方どうしが一致し，$a=c,b=d$ となる。

逆に$a=c$，$b=d$なら，割る2次式が同じであるから，商と余りが一致するのは明らかである。したがって必要十分条件は $a=c,b=d$ である。