東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

領域 $D$ は折れ線の上側（境界を除く）であり，放物線の各枝を対応する半直線と比較する．

不等式 $2y>x+1+3\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }$ を区間ごとに整理する。$x<1$では$\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=1-x$だから $2y>x+1+3(1-x)=4-2x$ すなわち $y>2-x$ である。$x\geqq 1$では$\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=x-1$だから $2y>x+1+3(x-1)=4x-2$ すなわち $y>2x-1$ である。

放物線$C$は $y=(x-a{)}^2+a+2$ である。すべての点が$D$に入る条件を，2つの区間で調べる。

まず$x<1$では $(x-a{)}^2+a+2>2-x$ がすべての$x<1$で成り立つことが必要十分である。これは $F(x)=(x-a{)}^2+x+a>0$ がすべての$x<1$で成り立つことと同値である。$F(x)$の頂点は $x=a-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。頂点が$x<1$に入る，すなわち$a<3\mathrm{/}2$のとき，最小値は $$F(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})=2a-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ であり，これが正であるためには $a>{\displaystyle \frac{1}{8}}$ が必要十分である。$a\geqq 3\mathrm{/}2$のときは，$x<1$での下限は$x\to 1-0$での値であり $F(1)=a^2-a+2>0$ だから常に成り立つ。結局，前半の条件は $a>{\displaystyle \frac{1}{8}}$ である。

次に$x\geqq 1$では $(x-a{)}^2+a+2>2x-1$ すなわち $G(x)=(x-a{)}^2-2x+a+3>0$ がすべての$x\geqq 1$で成り立つことが必要十分である。$G(x)$の頂点は $x=a+1$ である。$a\geqq 0$のとき頂点は$x\geqq 1$に入り，最小値は $G(a+1)=2-a$ だから $a<2$ が必要である。$a<0$のとき頂点は$x<1$にあり，$x\geqq 1$での下限は$x=1$での値 $G(1)=a^2-a+2>0$ なので常に成り立つ。したがって後半の条件は $a<2$ である。

以上より求める範囲は ${\displaystyle \frac{1}{8}}<a<2$ である。領域$D$は境界を含まないため，$a=1\mathrm{/}8$や$a=2$は含まれない。