東北大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1)
交点の $x$ 座標は $x^2-ax-a=a{x}^2+ax$ を満たす。整理すると $(1-a)x^2-2ax-a=0$ である。 $a=1$ のとき、この方程式は $-2x-1=0$ となり、交点は1個だけである。したがって異なる2点で交わるためには $a>1$ の場合を考えればよい。 $a>1$ のときは2次方程式であり、判別式を $\mathrm{\Delta }$ とすると $$\mathrm{\Delta }=(-2a{)}^2-4(1-a)(-a)=4a^2+4a(1-a)=4a$$ である。$a>1$ では $\mathrm{\Delta }>0$ なので、異なる2つの実数解をもつ。よって求める範囲は $a>1$ である。

(2)
2つの交点の $x$ 座標を $u,v$ とする。(1) の2次方程式について、解と係数の関係より $$u+v=\frac{2a}{1-a}$$ である。

交点は放物線 $D:y=a{x}^2+ax$ 上にもあるので、2交点を結ぶ直線の傾き $m$ は $$m=\frac{(a{v}^2+av)-(a{u}^2+au)}{v-u}$$ である。$u\mathrm{\ne }v$ だから、$m=a(u+v)+a$ となる。したがって $$m=a\cdot \frac{2a}{1-a}+a=\frac{a(a+1)}{1-a}$$ である。 $a>1$ なので、$s=a-1$ とおくと $s>0$ であり、$$m=-\frac{a(a+1)}{a-1}=-\frac{(s+1)(s+2)}{s}=-(s+3+\frac{2}{s})$$である。$s>0$ に対して $s+\frac{2}{s}\geqq 2\sqrt{2}$ であり、等号は $s=\sqrt{2}$ のときに成り立つ。よって $m$ が最大となるのは $$s=\sqrt{2},a=1+\sqrt{2}$$ のときである。このとき $m=-(3+2\sqrt{2})$ である。