東北大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1) $abc=1$より $$\frac{1}{a}=bc,\frac{1}{b}=ca,\frac{1}{c}=ab$$ である。したがって $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=ab+bc+ca$$ である。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\{(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 0}\end{array}$$なので $$a^2+b^2+c^2\geqq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$ である。

次に $$A=\frac{1}{\sqrt{a}},B=\frac{1}{\sqrt{b}},C=\frac{1}{\sqrt{c}}$$ とおく。すると$ABC=1$であり，先ほどと同じ議論から $$A^2+B^2+C^2\geqq AB+BC+CA$$ である。左辺は $$A^2+B^2+C^2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$ であり，また$abc=1$より $$AB=\frac{1}{\sqrt{ab}}=\sqrt{c},BC=\sqrt{a},CA=\sqrt{b}$$ である。したがって $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$ である。

以上より $$a^2+b^2+c^2\geqq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$ が成り立つ。

(2) $a,b,c$は正の実数なので，相加相乗平均より $$\frac{a+b+c}{3}\geqq \sqrt[3]{abc}$$ である。$abc=1$だから $a+b+c\geqq 3$ である。等号は $a=b=c=1$ のときに成り立つ。

(1) の第1不等式は$a^2+b^2\geqq 2ab$を3組について足す。第2不等式は逆数を2項ずつ組にして相加相乗平均を使い，$abc=1$から$1\mathrm{/}\sqrt{bc}=\sqrt{a}$へ変える。(2)は3数の相加相乗平均を直接使い，等号条件を確認する。

(1) 2数の平方差から$$a^2+b^2\geqq 2ab,b^2+c^2\geqq 2bc,c^2+a^2\geqq 2ca$$である。3式を足して2で割ると$$a^2+b^2+c^2\geqq ab+bc+ca\mathrm{.}$$$abc=1$より$$ab+bc+ca=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$だから，第1不等式が従う。

次に相加相乗平均より$$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqq \frac{2}{\sqrt{bc}}=2\sqrt{a}$$である。同様に$$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geqq 2\sqrt{b},\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqq 2\sqrt{c}\mathrm{.}$$これらを足して2で割ると$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$を得る。したがって$$a^2+b^2+c^2\geqq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\mathrm{.}$$(2) 正の3数の相加相乗平均より$$\frac{a+b+c}{3}\geqq \sqrt[3]{abc}=1.$$よって$$a+b+c\geqq 3.$$等号は$a=b=c=1$のときに成り立つ。