東北大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $f(x)=x^3-k{x}^2-1$ の3つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とすると、解と係数の関係より$$\alpha +\beta +\gamma =k,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =0,\alpha \beta \gamma =1$$である。 $g(x)=0$ の3つの解は $\alpha \beta ,\beta \gamma ,\gamma \alpha$ である。これらの和は $$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =0$$ である。2つずつの積の和は$$(\alpha \beta )(\beta \gamma )+(\beta \gamma )(\gamma \alpha )+(\gamma \alpha )(\alpha \beta )=\alpha \beta \gamma (\alpha +\beta +\gamma )=k$$である。また3つの積は $$(\alpha \beta )(\beta \gamma )(\gamma \alpha )=(\alpha \beta \gamma {)}^2=1$$ である。

よって、$x^3$ の係数が $1$ であることから $$g(x)=x^3-0x^2+kx-1=x^3+kx-1$$ である。

(2)
2つの方程式が共通解 $r$ をもつとする。このとき $$r^3-k{r}^2-1=0,r^3+kr-1=0$$ である。2式を引くと $-k{r}^2-kr=0$ すなわち $kr(r+1)=0$ である。

ここで $r=0$ はどちらの方程式にも代入すると左辺が $-1$ になり、解ではない。したがって $$k=0\text{または}r=-1$$ である。 $k=0$ のときは $$f(x)=x^3-1,g(x)=x^3-1$$ となり、確かに共通解をもつ。

次に $r=-1$ のとき、$f(-1)=0$ より $-1-k-1=0$ であるから $k=-2$ である。このとき $g(-1)=-1+2-1=0$ でもあるので、実際に共通解をもつ。

したがって求める値は $k=0,-2$ である。

$\alpha \beta \gamma =1$ より、$\alpha \beta ,\beta \gamma ,\gamma \alpha$ はそれぞれ$1\mathrm{/}\gamma ,1\mathrm{/}\alpha ,1\mathrm{/}\beta$ である。このため $g$ は $f$ の根を逆数に移した多項式として一度に作れる。共通解の条件も「2つの根の積が1」と読み替え、$f(1)$ と $f(-1)$ の確認に帰着する。

(1)
解と係数の関係より$$\alpha \beta \gamma =1$$である。したがって$$\alpha \beta =\frac{1}{\gamma },\beta \gamma =\frac{1}{\alpha },\gamma \alpha =\frac{1}{\beta }\mathrm{.}$$すなわち $g(x)=0$ の根は、$f(x)=0$ の3根の逆数である。$$-x^{3}f\left(\frac{1}{x}\right)=-x^3(\frac{1}{x^3}-\frac{k}{x^2}-1)=x^3+kx-1$$は最高次係数が1で、根が $1\mathrm{/}\alpha ,1\mathrm{/}\beta ,1\mathrm{/}\gamma$ である。よって$$g(x)=x^3+kx-1.$$(2)
$f$ と $g$ が共通解をもつなら、$f$ のある根が、別の（同じものでもよい）根の逆数に等しい。したがって $f$ の2根の積が1である。

異なる2根の積が1なら、3根の積も1であることから残りの根は1である。同じ根どうしの積が1なら、その根は $1$ または $-1$ である。いずれの場合も、$f(x)=0$ は $1$ または $-1$ を解にもつ。$$f(1)=-k,f(-1)=-k-2$$より候補は $k=0,-2$ である。逆に、$k=0$ では $1$ が、$k=-2$ では $-1$ が $f$ と $g$ の共通解になる。したがって$$k=0,-2$$である。