東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

4回目に初めて赤玉が取り出されるには，最初の3回が青玉で，4回目が赤玉であればよい。したがって確率は$${\displaystyle \frac{7}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{8}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 3}{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$である。

(2)

10回の取り出し順のうち，赤玉3個が現れる位置だけを考える。赤玉の位置は10個の位置から3個を選ぶので，全体は ${}_{10}{\mathrm{C}}_3$ 通りである。8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されているためには，赤玉3個の位置がすべて1回目から8回目までに入っていればよい。よって確率は$${\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_3}{{}_{10}{\mathrm{C}}_3}}={\displaystyle \frac{56}{120}}={\displaystyle \frac{7}{15}}$$である。

(3)

赤玉がちょうど8回目ですべて取り出されるとは，8回目が3個目の赤玉であるということである。したがって，1回目から7回目までに赤玉が2個あり，8回目が赤玉であればよい。赤玉の位置で数えると，8回目を必ず選び，残り2個の赤玉の位置を1回目から7回目までの中から選ぶので ${}_7{\mathrm{C}}_2$ 通りである。よって確率は$${\displaystyle \frac{{}_7{\mathrm{C}}_2}{{}_{10}{\mathrm{C}}_3}}={\displaystyle \frac{21}{120}}={\displaystyle \frac{7}{40}}$$である。