東北大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

模式図（$a=1$）．上下差は交点で0となる下に凸の2次式である．

(1)

交点では $${\displaystyle \frac{a+1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{a+1}{4a}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。整理すると $$({\displaystyle \frac{a+1}{4}}+{\displaystyle \frac{a+1}{4a}})x^2=1$$ すなわち $${\displaystyle \frac{(a+1{)}^2}{4a}}{x}^2=1$$ である。$a>0$より $$x=\pm {\displaystyle \frac{2\sqrt{a}}{a+1}}$$ である。このときの$y$座標は，たとえば$C_1$に代入して$$y={\displaystyle \frac{a+1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{4a}{(a+1{)}^2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{a}{a+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{a-1}{2(a+1)}}$$である。よって交点は $(\pm {\displaystyle \frac{2\sqrt{a}}{a+1}},{\displaystyle \frac{a-1}{2(a+1)}})$ である。

(2)

交点の間では$C_2$が上側，$C_1$が下側にある。上下差は$$(-{\displaystyle \frac{a+1}{4a}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}})-({\displaystyle \frac{a+1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}})=1-{\displaystyle \frac{(a+1{)}^2}{4a}}{x}^2$$である。したがって，$$h=2\sqrt{a}\mathrm{/}(a+1)$$とおくと$$S={\int }_{-h}^h(1-{\displaystyle \frac{x^2}{h^2}})dx$$である。計算して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={[x-{\displaystyle \frac{x^3}{3h^2}}]}_{-h}^h}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4h}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8\sqrt{a}}{3(a+1)}}}\end{array}$$である。

(3)

(2) より $$S={\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{a+1}}$$ である。$a>0$なので $a+1\geqq 2\sqrt{a}$ より $${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{a+1}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。等号は$a=1$のとき成り立つ。したがって$S$の最大値は $${\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$$ である。

$u=\sqrt{a}>0$ と置き，面積を $u$ の有理関数に直して増減を調べる．相加相乗平均で得た最大値を独立に検算できる．

$$u=\sqrt{a}>0$$ とおくと，(2)の結果は$$S(u)={\displaystyle \frac{8u}{3(u^2+1)}}$$となる．微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{8(1-u^2)}{3(u^2+1{)}^2}}\mathrm{.}$$したがって $S$ は $0<u<1$ で増加し，$u>1$ で減少する．よって $u=1$，すなわち $a=1$ のとき最大となり，$$\max S=S(1)={\displaystyle \frac{4}{3}}$$である．