東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

$$F(x)=\mathrm{\mid }x(x-2)\mathrm{\mid }+2a\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-4a\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }-1$$とおく．絶対値を外すと$$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+(2a-2)x-8a-1& (x<0),\\ -x^2+(2+6a)x-8a-1& (0\leqq x<2),\\ x^2-(2+2a)x+8a-1& (x\geqq 2)\mathrm{.}\end{array}$$区間端の値は$$F(0)=-8a-1,F(2)=4a-1$$である．

$x<0$ にある根

この区間の二次式は $x\to -\mathrm{\infty }$ で正となる．$F(0)<0$，すなわち$$a>-{\displaystyle \frac{1}{8}}$$のとき，$x<0$ にちょうど1根をもつ．それ以外では0根である．

$0\leqq x<2$ にある根

中央の二次式の判別式は$${\mathrm{\Delta }}_0=4a(9a-2)$$である．下に開くことと端点の符号を合わせると，根数は$$\begin{array}{ccccc}a& (-{\displaystyle \frac{1}{8}},0)& (0,{\displaystyle \frac{2}{9}})& ({\displaystyle \frac{2}{9}},{\displaystyle \frac{1}{4}})& ({\displaystyle \frac{1}{4}},\mathrm{\infty })\\ \text{根数}& 2& 0& 2& 1\end{array}$$となる．境界では，$a=0$ で $x=1$ が重解，$a=2\mathrm{/}9$ で重解，
$a=-1\mathrm{/}8$ では $x=0$，$a=1\mathrm{/}4$ では $x=2$ が根になる．

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$x\geqq 2$ にある根

$a<1\mathrm{/}4$ では $F(2)<0$ で，$x\to \mathrm{\infty }$ では正だから1根をもつ．
$a>1\mathrm{/}4$ では，頂点 $x=a+1$ がこの区間に入る $a\geqq 1$ の場合だけ
2根の可能性がある．判別式は$${\mathrm{\Delta }}_2=4(a^2-6a+2)$$なので，$a\geqq 1$ のもとで2根をもつ条件は$$a>3+\sqrt{7}\mathrm{.}$$$a=3+\sqrt{7}$ では重解であり，相異なる根は1個である．

以上を合計すると，$$\begin{array}{cccc}a& (-{\displaystyle \frac{1}{8}},0)& ({\displaystyle \frac{2}{9}},{\displaystyle \frac{1}{4}})& (3+\sqrt{7},\mathrm{\infty })\\ x<0& 1& 1& 1\\ 0\leqq x<2& 2& 2& 1\\ x\geqq 2& 1& 1& 2\\ \text{合計}& 4& 4& 4\end{array}$$である．したがって求める範囲は$$-{\displaystyle \frac{1}{8}}<a<0,{\displaystyle \frac{2}{9}}<a<{\displaystyle \frac{1}{4}},a>3+\sqrt{7}$$である．