東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),P=\left(\begin{array}{cc}p& 0\\ 0& q\end{array}\right)$$である。$APA$を計算すると$$APA=\left(\begin{array}{cc}p{a}^2+qbc& b(pa+qd)\\ c(pa+qd)& pbc+q{d}^2\end{array}\right)$$である。一方$$P^2=\left(\begin{array}{cc}{p}^2& 0\\ 0& q^2\end{array}\right)$$なので，非対角成分から $$b(pa+qd)=0,c(pa+qd)=0$$ が成り立つ。

ここで$pa+qd=0$と仮定する。このとき$d=-pa\mathrm{/}q$である。また左上成分の等式 $p{a}^2+qbc=p^2$ より $$bc={\displaystyle \frac{p^2-p{a}^2}{q}}$$ である。したがって $$ad-bc=a(-{\displaystyle \frac{pa}{q}})-{\displaystyle \frac{p^2-p{a}^2}{q}}=-{\displaystyle \frac{p^2}{q}}<0$$ となり，仮定$ad-bc>0$に反する。よって $pa+qd\mathrm{\ne }0$ である。したがって $b=0,c=0$ である。

すると$A$も$P$も対角行列であるから，対角成分同士の積は順序を入れ替えても同じであり，$P^{3}A=A{P}^3$ が成り立つ。

(2)

(1) より$b=c=0$である。$APA=P^2$の対角成分を比較すると $$p{a}^2=p^2,q{d}^2=q^2$$ である。$p>0$，$q>0$より $a^2=p,d^2=q$ である。また $ad-bc=ad>0$ なので，$a$と$d$は同符号である。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{p}& 0\\ 0& \sqrt{q}\end{array}\right)\text{または}A=\left(\begin{array}{cc}-\sqrt{p}& 0\\ 0& -\sqrt{q}\end{array}\right)$$である。逆に，これらの行列はいずれも$ad-bc>0$かつ$APA=P^2$を満たす。