東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$$、$$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$$ とおく。点 $C$ は辺 $AB$ を $1:2$ に内分するので $$\overrightarrow{OC}=\frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}$$ である。また、条件より $$\overrightarrow{OD}=x\vec{a},\overrightarrow{OE}=y\vec{b}$$ である。

点 $C,D,E$ は一直線上にあるから、ある実数 $\lambda$ を用いて$$\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OD}+(1-\lambda )\overrightarrow{OE}$$と書ける。これに上の表示を代入すると $$\frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}=\lambda x\vec{a}+(1-\lambda )y\vec{b}$$ である。$O,A,B$ は三角形をつくるので $\vec{a},\vec{b}$ は平行でなく、係数を比較できる。したがって $$\lambda x=\frac{2}{3},(1-\lambda )y=\frac{1}{3}$$ である。ここから $$\lambda =\frac{2}{3x},1-\lambda =\frac{1}{3y}$$ を得る。両式を加えると $\lambda +(1-\lambda )=1$ だから $$\frac{2}{3x}+\frac{1}{3y}=1$$ すなわち $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3$ である。

(2)
三角形 $ODE$ は、三角形 $OAB$ の $OA$ 方向を $x$ 倍、$OB$ 方向を $y$ 倍した三角形である。よって面積について $T=xyS$ が成り立つ。したがって $$\frac{S}{T}=\frac{1}{xy}$$ である。

(1) より $$\frac{1}{y}=3-\frac{2}{x}=\frac{3x-2}{x}$$ であるから $$y=\frac{x}{3x-2}$$ である。ここで $x\geqq 1$ なので $3x-2>0$ であり、$y>0$ も確認できる。したがって $$\frac{S}{T}=\frac{1}{x\cdot x\mathrm{/}(3x-2)}=\frac{3x-2}{x^2}$$ となる。 $$f(x)={\displaystyle \frac{3x-2}{x^2}}$$ とおくと $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{3x^2-2x(3x-2)}{x^4}=\frac{-3x+4}{x^3}$$ である。$x\geqq 1$ では分母は正なので、$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ は $1\leqq x<4\mathrm{/}3$、$f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ は $x>4\mathrm{/}3$ である。よって最大は $x=\frac{4}{3}$ で生じ、その値は $$f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{4-2}{16\mathrm{/}9}=\frac{9}{8}$$ である。したがって $$\frac{S}{T}\text{ の最大値は }\frac{9}{8}\text{、そのとき }x=\frac{4}{3}$$ である。

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$x=4\mathrm{/}3$ の場合の位置関係を描くと、$D$ は辺 $OA$ の延長上、$E$ は辺 $OB$ 上にある。