東北大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$\overrightarrow{AD}=(1,1,1)$$ であるから、点 $A(0,0,1)$ を通り $AD$ に垂直な平面 $L$ は $x+y+z=1$ である。

点 $N$ は線分 $BC$ を $t:(1-t)$ に内分するので $N=(1-t)B+tC$ である。したがって $$N=(1-t)(3,1,1)+t(1,4,4)=(3-2t,1+3t,1+3t)$$ である。 $N$ から平面 $L$ へ下ろす垂線は法線方向 $(1,1,1)$ に平行であるから $H=N-\lambda (1,1,1)$ とおける。$H$ が $x+y+z=1$ 上にある条件は $$(3-2t-\lambda )+(1+3t-\lambda )+(1+3t-\lambda )=1$$ である。よって $5+4t-3\lambda =1$ から $$\lambda =\frac{4+4t}{3}$$ である。したがって$$H=(\frac{5-10t}{3},\frac{-1+5t}{3},\frac{-1+5t}{3})$$である。

(2)
重み付きの中心 $$G=\frac{2B+C}{3}$$ を考える。計算すると $$G=(\frac{7}{3},2,2)$$ である。任意の点 $P$ について $$2P{B}^2+P{C}^2=3P{G}^2+(2G{B}^2+G{C}^2)$$ が成り立つ。ここで $$\overrightarrow{BC}=(-2,3,3),B{C}^2=22$$ であり、$GB=BC\mathrm{/}3$、$GC=2BC\mathrm{/}3$ だから $$2G{B}^2+G{C}^2=2\cdot \frac{22}{9}+\frac{4\cdot 22}{9}=\frac{44}{3}$$ である。

したがって、$2P{B}^2+P{C}^2$ を最小にするには、平面 $L$ 上の $P$ について $PG$ を最小にすればよい。これは $G$ から平面 $L$ へ下ろした垂線の足で起こる。

点 $G$ について $$\frac{7}{3}+2+2-1=\frac{16}{3}$$ であるから、平面 $x+y+z=1$ までの距離の2乗は $$\frac{(16\mathrm{/}3{)}^2}{1^2+1^2+1^2}=\frac{256}{27}$$ である。よって求める最小値は $$3\cdot \frac{256}{27}+\frac{44}{3}=\frac{388}{9}$$ である。

平面 $L$ を $z=1-x-y$ と表して点 $P$ の自由度を2つにする。(1)は法線方向への射影を計算し、(2)は目的式を $x,y$ の正定値2次式として展開して平方完成する。

(1) $$\overrightarrow{AD}=(1,1,1)$$ だから$$L:x+y+z=1.$$また$$N=(1-t)B+tC=(3-2t,1+3t,1+3t)\mathrm{.}$$垂線の足を $H=N-\lambda (1,1,1)$ とおく。$H\in L$ より$$5+4t-3\lambda =1,\lambda =\frac{4+4t}{3}\mathrm{.}$$したがって$$H=(\frac{5-10t}{3},\frac{-1+5t}{3},\frac{-1+5t}{3})\mathrm{.}$$(2)
$P=(x,y,z)\in L$ とすると $z=1-x-y$ である。これを直接代入して整理すると$$2P{B}^2+P{C}^2=6x^2+6xy+6y^2-8x-6y+46.$$$$u=x-\frac{5}{9},v=y-\frac{2}{9}$$と置けば$$2P{B}^2+P{C}^2=6u^2+6uv+6v^2+\frac{388}{9}\mathrm{.}$$ここで$$6u^2+6uv+6v^2=3(u+v{)}^2+3u^2+3v^2\geqq 0$$であり、等号は $u=v=0$ のときに成立する。よって最小値は$$\frac{388}{9}$$である。