Evolton
方針
平面 は に垂直なので、法線ベクトルは である。(1)は平面方程式 を作り、中点 から法線方向に射影する。(2)は中点公式 を使い、 が平面上を動くとき が最小になるのは垂線の足 であることに帰着する。
解答
(1) である。平面 は点 を通り、 に垂直なので、方程式は すなわち である。 の中点 はである。 から平面 へ下ろす垂線は法線方向 に平行であるから とおける。 が平面 上にある条件はである。よって から である。したがって である。
(2) は の中点である。任意の点 について、中点公式より が成り立つ。ここで だから である。 が平面 上を動くとき、 が最小となるのは、 から平面 に下ろした垂線の足、すなわち のときである。(1)より なので である。
よって求める最小値は である。
総評
難度5、目安時間25分。平面への射影と中点公式を組み合わせる標準的な空間ベクトル問題である。平面 の法線が 方向であること、 からの垂線の足が距離最小点であることを明確に書くとよい。(2)は を直接展開するより、中点 を使うと計算が短くなる。