東北大 2012年度文系（後期）数学第4問（ベクトル）｜問題・解答・解説

東北大学 2012年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第4問

空間内に4点 $A (0, 0, 1)$ ， $B (3, 1, 1)$ ，
$C (1, 4, 4)$ ， $D (1, 1, 2)$ がある。
点 $A$ を含み，直線 $A D$ に垂直な平面を $L$ とし，2点 $B$ ， $C$ の中点を $M$ とする。
以下の問いに答えよ。

(1) 点 $M$ から平面 $L$ に下ろした垂線と $L$ の交点を $H$ とするとき，
点 $H$ の座標を求めよ。

(2) $P$ を平面 $L$ 上を動く点とするとき，
線分 $P B$ および線分 $P C$ の長さの2乗の和 ${P B}^{2} + {P C}^{2}$ の最小値を求めよ。

難易度5/ 10計算量5/ 10目安25分

方針

平面 $L$ は $A D$ に垂直なので、法線ベクトルは $\vec{A D} = (1, 1, 1)$ である。(1)は平面方程式 $x + y + z = 1$ を作り、中点 $M$ から法線方向に射影する。(2)は中点公式 $P B^{2} + P C^{2} = 2 P M^{2} + B C^{2} / 2$ を使い、 $P$ が平面上を動くとき $P M$ が最小になるのは垂線の足 $H$ であることに帰着する。

解答

(1) $\vec{A D} = D - A = (1, 1, 1)$ である。平面 $L$ は点 $A (0, 0, 1)$ を通り、 $\vec{A D}$ に垂直なので、方程式は $(x - 0) + (y - 0) + (z - 1) = 0$ すなわち $x + y + z = 1$ である。 $B, C$ の中点 $M$ は $M = (\frac{3 + 1}{2}, \frac{1 + 4}{2}, \frac{1 + 4}{2}) = (2, \frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ である。 $M$ から平面 $L$ へ下ろす垂線は法線方向 $(1, 1, 1)$ に平行であるから $H = M - λ (1, 1, 1)$ とおける。 $H$ が平面 $L$ 上にある条件は $(2 - λ) + (\frac{5}{2} - λ) + (\frac{5}{2} - λ) = 1$ である。よって $7 - 3 λ = 1$ から $λ = 2$ である。したがって $H = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ である。

(2) $M$ は $B C$ の中点である。任意の点 $P$ について、中点公式より $P B^{2} + P C^{2} = 2 P M^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$ が成り立つ。ここで $\vec{B C} = (- 2, 3, 3)$ だから $B C^{2} = 4 + 9 + 9 = 22$ である。 $P$ が平面 $L$ 上を動くとき、 $P M$ が最小となるのは、 $M$ から平面 $L$ に下ろした垂線の足、すなわち $P = H$ のときである。(1)より $\vec{M H} = (- 2, - 2, - 2)$ なので $M H^{2} = 4 + 4 + 4 = 12$ である。

よって求める最小値は $2 \cdot 12 + \frac{1}{2} \cdot 22 = 24 + 11 = 35$ である。

総評

難度5、目安時間25分。平面への射影と中点公式を組み合わせる標準的な空間ベクトル問題である。平面 $L$ の法線が $A D$ 方向であること、 $M$ からの垂線の足が距離最小点であることを明確に書くとよい。(2)は $P B^{2} + P C^{2}$ を直接展開するより、中点 $M$ を使うと計算が短くなる。

出典: 東北大学 2012年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

方針

解答

総評

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