Evolton
方針
生徒が選ばれる確率と玉の色が決まる確率を分けて考える。 が選ばれる確率はそれぞれ で、玉は戻さないので赤玉を続けて引く確率は分子・分母が1ずつ減る。(1) は2回とも かつ2回とも赤玉。(2) は直接「少なくとも1個」を数えるより、2回のうち が選ばれた回数で分け、 が赤玉を1個も得ない余事象を計算する。
解答
(1)
1回の操作で が選ばれる確率は である。 が2個の赤玉を手に入れるには、2回とも が選ばれ、さらに2回とも赤玉を取り出す必要がある。
玉は戻さないので、1回目に赤玉を取り出す確率は 、その後に赤玉を取り出す確率は である。したがって求める確率はである。
(2)
1回の操作で が選ばれる確率は である。2回のうち が選ばれる回数を とする。するとである。 が赤玉を1個も手に入れない確率を求める。 なら は玉を取らないので、赤玉を得ない確率は である。 なら、 が取る1個が白玉であればよく、その確率は である。 なら、 が取る2個がどちらも白玉であればよく、その確率は である。
よって が赤玉を1個も得ない確率はである。したがって、 が少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率は である。
別解
解法2（2回の事象に包除原理を使う）
方針
(1) は必要な4条件を直接掛ける。(2) は第 回に「 が選ばれ、赤玉を取る」事象を とし、 を包除原理で求める。各回の取り出し位置に赤玉が来る周辺確率は である。
解答
(1)
2回とも が選ばれ、かつ2個とも赤玉である確率はである。
(2)
第 回に が選ばれて赤玉を取る事象を とする。取り出される人と玉の色は独立であり、無作為に並んだ第 番目の玉が赤である確率は だからである。
両方の事象が起こるには、2回とも が選ばれ、2個とも赤玉でなければならない。したがってである。包除原理よりとなる。
総評
2回だけの確率なので、複雑な樹形図を書かずに「選ばれる人」と「玉の色」を分けると短く整理できる。目安時間は14分。(1) では玉を戻さないため になる点、(2) では が選ばれる回数 を漏れなく分ける点が採点の中心である。 のとき、 の操作が1回目か2回目かで白玉確率を分ける必要はなく、対称性により と見てよい。ただし答案では の確率に順序の係数 を入れ忘れないこと。