東北大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1)
隣り合う2枚の交換位置を、左から順に $1,2,3,4$ と番号づける。2回の操作で選ぶ位置の組を考える。

同じ位置を2回選ぶと元に戻るので、得られる並びは最初の並び1通りである。

異なる2位置を選ぶ場合を考える。選んだ位置が隣り合っている場合、例えば $1,2$ と $2,1$ では得られる並びが異なる。隣り合う位置の組は $(1,2),(2,3),(3,4)$ の3組で、それぞれ順序が2通りあるので、6通りの並びが得られる。

選んだ位置が離れている場合、2つの交換は互いに影響しないので順序を入れ替えても同じ並びになる。離れた位置の組は $(1,3),(1,4),(2,4)$ の3組である。

したがって、2回の操作後にありうる並びは $1+6+3=10\text{通り}$ である。

(2)
最初、数字3は左から3番目にある。数字3が動かされないためには、数字3を含む隣接組を選んではならない。最初の状態で数字3を含まない交換位置は、左端の2枚を入れ換える位置と右端の2枚を入れ換える位置の2通りである。

さらに、数字3が一度も動かされなければ、数字3は常に中央にあるので、各回で選べる安全な位置は同じく2通りである。全体では毎回4通りの選択が同様に確からしいから、求める確率は $${\left(\frac{2}{4}\right)}^4=\frac{1}{16}$$ である。

(3)
数字3の位置だけに注目する。位置が $i$ のとき、隣接交換4通りのうち、数字3を左へ動かす交換があれば1通り、右へ動かす交換があれば1通りで、残りは動かない。

初期状態では位置3に確率1である。各時刻後の位置分布を $(1,2,3,4,5)$ の順に書くと、$0\text{回後}:(0,0,1,0,0),$ $1\text{回後}:(0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4},0),$ $2\text{回後}:(\frac{1}{16},\frac{1}{4},\frac{3}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{16}),$ $$3\text{回後}:(\frac{7}{64},\frac{15}{64},\frac{5}{16},\frac{15}{64},\frac{7}{64}),$$$$4\text{回後}:(\frac{9}{64},\frac{57}{256},\frac{35}{128},\frac{57}{256},\frac{9}{64})$$である。したがって4回後に数字3が左から3番目にある確率は $\frac{35}{128}$ である。