東北大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1)
第1試合からの連勝回数を $X$ とする。$X\geqq k$ であることは，第1試合から第 $k$ 試合まですべて勝つことと同値である。したがって $$P(X\geqq k)={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^k(1\leqq k\leqq n)$$ である。

非負整数値をとる確率変数について $$E(X)=\sum _{k=1}^{n}P(X\geqq k)$$ であるから$$E(X)=\sum _{k=1}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=\frac{1\mathrm{/}2\{1-(1\mathrm{/}2{)}^n\}}{1-1\mathrm{/}2}=1-\frac{1}{2^n}\mathrm{.}$$よって $1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$ である。

(2)
各試合について，勝ちを1，負けを0で表す。第 $k$ 試合までの勝ち数を $t_k$ とすると $$a_k={\displaystyle \frac{t_k}{k}}$$ である。

第 $k+1$ 試合の結果を $\epsilon$ とする。ここで $\epsilon =1$ なら勝ち，$\epsilon =0$ なら負けである。条件 $a_k\leqq a_{k+1}$ は $${\displaystyle \frac{t_k}{k}}\leqq {\displaystyle \frac{t_k+\epsilon }{k+1}}$$ である。両辺に $k(k+1)>0$ を掛けると $$(k+1)t_k\leqq k(t_k+\epsilon )$$ すなわち $t_k\leqq k\epsilon$ である。

もし第 $k+1$ 試合が勝ちなら $\epsilon =1$ であり，$t_k\leqq k$ は常に成り立つ。もし第 $k+1$ 試合が負けなら $\epsilon =0$ であり，条件は $t_k=0$ となる。つまり，平均勝率が下がらないまま負けが出ることができるのは，それまで1勝もしていない場合だけである。

したがって $$a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_m$$ となるためには，最初の $m$ 試合が$$\underset{r\text{ 回}}{\underbrace{L\cdots L}}\underset{m-r\text{ 回}}{\underbrace{W\cdots W}}$$という形でなければならない。ただし $r=0,1,\dots ,m$ である。

さらに $a_m>a_{m+1}$ となるには，第 $m+1$ 試合が負けであり，かつ最初の $m$ 試合までに少なくとも1勝している必要がある。したがって上の形で $r=0,1,\dots ,m-1$ の $m$ 通りが可能であり，第 $m+1$ 試合は負けに固定される。

よって $$p_m={\displaystyle \frac{m}{2^{m+1}}}$$ である。すなわち $$p_m={\displaystyle \frac{m}{2^{m+1}}}$$ である。

(3)
(2) より $$\sum _{m=1}^{n-1}m{p}_m=\sum _{m=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{m^2}{2^{m+1}}}$$ である。この和を $$S_N=\sum _{m=1}^N{\displaystyle \frac{m^2}{2^{m+1}}}$$ とおく。等比数列の和を2回利用して整理すると $$S_N=3-{\displaystyle \frac{N^2+4N+6}{2^{N+1}}}$$ である。ここで $N=n-1$ とすれば$$\sum _{m=1}^{n-1}\frac{m^2}{2^{m+1}}=3-\frac{(n-1{)}^2+4(n-1)+6}{2^n}=3-\frac{n^2+2n+3}{2^n}\mathrm{.}$$したがって $$\sum _{m=1}^{n-1}m{p}_m=3-{\displaystyle \frac{n^2+2n+3}{2^n}}$$ である。