東北大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

1回の試行で出た表の枚数を考える。2枚とも表なら表の枚数は2で，移動量は $+1$ である。2枚とも裏なら表の枚数は0で，移動量は $-1$ である。それ以外なら表の枚数は1で，移動量は0である。

つまり，1回の試行における移動量は $(\text{その試行で出た表の枚数})-1$ である。

(1)
2回の試行では，合計4枚の硬貨を投げたと考えられる。$S_2=-1$ となるには，総移動量が $-1$ であればよい。表の総数を $i$ とすると，後で示すように $S_2=i-2$ であるから，$S_2=-1$ は $i=1$ と同値である。

4枚のうち表が1枚である確率は $${\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_1}{2^4}}={\displaystyle \frac{4}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。

(2)
3回の試行では，合計6枚の硬貨を投げたと考えられる。$S_3=1$ となるには $i-3=1$ すなわち $i=4$ であればよい。よって $${\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_4}{2^6}}={\displaystyle \frac{15}{64}}$$ である。したがって ${\displaystyle \frac{15}{64}}$ である。

(3)
$n$ 回の試行で出た表の総数を $i$ とする。各試行の移動量は「その試行で出た表の枚数 $-1$」であるから，$n$ 回の移動量の合計は $$i-\underset{n\text{ 個}}{\underbrace{1-1-\cdots -1}}=i-n$$ である。したがって $S_n=i-n$ である。

(4)
$S_n=k$ となるには，(3) より $i-n=k$ すなわち $i=n+k$ であればよい。$n$ 回の試行は合計 $2n$ 枚の硬貨を投げることと同じなので，表の総数が $n+k$ となる確率は ${\displaystyle \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_{n+k}}{2^{2n}}}$ である。

ただし，表の枚数は $0$ 以上 $2n$ 以下でなければならない。したがって $0\leqq n+k\leqq 2n$ すなわち $-n\leqq k\leqq n$ のときだけ可能である。よって$$P(S_n=k)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_{n+k}}{2^{2n}}}& (-n\leqq k\leqq n),\\ 0& (k<-n\text{ または }n<k)\end{array}$$である。