東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
放物線 $y=x^2$ 上の点 $(u,u^2)$ における接線は $y=2u(x-u)+u^2=2ux-u^2$ である。したがって、接点 $(a,a^2)$ における接線 $l$ は $l:y=2ax-a^2$ で、傾きは $2a$ である。

もう一方の接線 $m$ の接点を $(b,b^2)$ とすると、$m$ の傾きは $2b$ である。2本の接線は垂直なので $(2a)(2b)=-1$ であり、$$ab=-\frac{1}{4},b=-\frac{1}{4a}$$ である。特に $a\mathrm{\ne }0$ である。

2本の接線 $$y=2ax-a^2,y=2bx-b^2$$ の交点を求める。両式を等しくして $2ax-a^2=2bx-b^2$ だから $2(a-b)x=(a-b)(a+b)$ である。$a\mathrm{\ne }b$ なので $$x=\frac{a+b}{2}$$ となる。このとき $$y=2a\cdot \frac{a+b}{2}-a^2=ab$$ である。したがって交点は $(\frac{a+b}{2},ab)$ であり、$b=-1\mathrm{/}(4a)$ を代入して $(\frac{a}{2}-\frac{1}{8a},-\frac{1}{4})$ を得る。

(2)
2本の接線が $y$ 軸に関して対称であるから、接点は $(c,c^2)$ と $(-c,c^2)$ とおける。接線の傾きはそれぞれ $2c$、$-2c$ であり、垂直条件より $(2c)(-2c)=-1$ だから $4c^2=1$ である。$c>0$ としてよいので $c=\frac{1}{2}$ である。

右側の接線は $y=x-\frac{1}{4}$ 左側の接線は $y=-x-\frac{1}{4}$ である。囲まれる部分は左右対称であり、$0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$ では上側が放物線 $y=x^2$、下側が接線 $y=x-1\mathrm{/}4$ である。よって求める面積は$$2{\int }_0^{1\mathrm{/}2}\{x^2-(x-\frac{1}{4})\}dx=2{\int }_0^{1\mathrm{/}2}{(x-\frac{1}{2})}^{2}dx$$である。したがって$$2{\left[\frac{1}{3}{(x-\frac{1}{2})}^3\right]}_0^{1\mathrm{/}2}=2\cdot \frac{1}{24}=\frac{1}{12}$$である。

対称な2接線と放物線に囲まれる部分は、次の青色領域である。