東北大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
4を訪問するには、1歩または2歩の増分の和が初めて4になればよい。4を $1,2$ の和で表す列は $1+1+1+1,1+1+2\text{ の並べ替え},2+2$ である。したがって4を訪問する確率は $p^4+3p^2(1-p)+(1-p{)}^2$ である。

4を訪問した後、6を訪問するには、4から一度に2進むか、1ずつ2回進めばよい。したがってその条件付き確率は $(1-p)+p^2$ である。4を訪問する時刻は高々4であり、その後2回以内に6へ到達するので、時刻6までという条件にも合う。

よって求める確率は $\{p^4+3p^2(1-p)+(1-p{)}^2\}\{(1-p)+p^2\}$ である。

(2)
3の倍数を訪問しないためには、各3の倍数を飛び越さなければならない。3の倍数の直前、すなわち $3j-1$ にいるときは、次に2進めば $3j+1$ に移り、$3j$ を訪問しないで済む。一方、$3j-2$ から2進むと $3j$ に着いてしまうので不適である。

最初に1進む型を考える。位置1から始まると、3を避けるためには次に1進んで2へ行き、その次に2進んで4へ行く必要がある。同じことを繰り返すと、$3,6,\dots ,3m$ をすべて飛び越すまでに、増分1が $m+1$ 回、増分2が $m$ 回必要である。その確率は $p^{m+1}(1-p{)}^m$ である。最後の $3m$ を飛び越した後、時刻 $3m$ までに残った操作はどちらを選んでも、もはや $3,6,\dots ,3m$ には戻らない。

次に最初に2進む型を考える。位置2から始まると、3を避けるために次は2進んで4へ行く。その後は同様に進み、$3,6,\dots ,3m$ をすべて飛び越すまでに、増分1が $m-1$ 回、増分2が $m+1$ 回必要である。その確率は $p^{m-1}(1-p{)}^{m+1}$ である。

したがって求める確率は $p^{m+1}(1-p{)}^m+p^{m-1}(1-p{)}^{m+1}$ であり、まとめて $p^{m-1}(1-p{)}^m\{p^2+(1-p)\}$ である。