東北大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $x=s+t+1,y=s-t-1$ である。2式を加えると $x+y=2s$ であり、2式を引くと $x-y-2=2t$ である。したがって $$s=\frac{x+y}{2},t=\frac{x-y-2}{2}$$ である。

条件 $s\geqq 0,t\geqq 0$ は $x+y\geqq 0,x-y-2\geqq 0$ と同値である。よって点 $(x,y)$ の動く範囲は $x+y\geqq 0,x-y\geqq 2$ を同時に満たす領域である。図示すると、直線 $y=-x$ の上側と直線 $y=x-2$ の下側の共通部分であり、境界線を含む。

(2) $y=s+t-1$ より $t=y+1-s$ である。これを $x=st+s-t+1$ に代入すると $x=s(y+1-s)+s-(y+1-s)+1$ $=-s^2+(y+3)s-y$ である。

ここで $s$ は任意の実数を動く。固定した $y$ に対して、右辺は $s$ の下に凸でない二次式であり、最大値は頂点 $$s=\frac{y+3}{2}$$ でとる。その最大値は $$\frac{(y+3{)}^2}{4}-y=\frac{y^2+2y+9}{4}$$ である。逆に、この最大値以下の任意の $x$ は、対応する二次方程式が実数解 $s$ をもつので実現できる。

したがって点 $(x,y)$ の動く範囲は $$x\leqq \frac{y^2+2y+9}{4}$$ である。図示すると、境界 $$x=\frac{(y+1{)}^2+8}{4}$$ をもつ右向きの放物線と、その左側の領域であり、境界を含む。

消去後の2つの領域を図示すると次のようになる。青色部分は境界を含む。