Evolton
方針
第2不等式は と見て、 に直す。下側境界は と の大きい方であり、交点 を境に式が変わる。図示では上側が直線 、下側が区間ごとの放物線または直線になることを明記し、面積は上下差を積分する。
解答
(1)
第2不等式 は と同値であり、領域内では である。したがって は を同時に満たす領域である。
下側境界は と の大きい方で決まる。比較すると、であり、下側境界はとなる。上側境界は全体で である。したがって、端点を含めて の範囲は であり、この上下の曲線・直線で囲まれる領域を図示すればよい。
(2)
面積は上下差の積分でである。すなわち である。各積分は次の通りである である。したがって である。
別解
解法2（単純な領域から超過部分を引く）
方針
まず上側直線 と の間の面積を一括して求める。その後、条件 によって削られる の部分だけを差し引く。
解答
(1)
第2不等式はだからである。したがって上側境界は 、下側境界は と の大きい方である。
と の交点は である。また となるのは である。よって領域は にあり、下側境界はとなる。
(2)
まず と の間の面積を求めるとである。
このうち を満たさない超過部分は にあり、その面積はである。したがって求める面積はとなる。
総評
難度6、計算量7。目安時間は24分。絶対値が2か所にあるため、まず第2不等式を上下の直線に直し、下側境界を比較することが重要である。採点点は、 への変形、下側境界が で切り替わること、全体の端が になること、面積積分の区間分割である。図示では上側直線と下側の放物線・直線のどの部分を使うかを明確にしたい。 第2解法では主解法と異なる構造を用い、同じ結論を独立に再現した。 独立積分監査により、第1区間と第4区間の中間値をそれぞれ へ訂正し、総和 を再確認した。