東北大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $AB$ は円 $C$ の直径であり、$P$ は $A,B$ と異なる円周上の点であるから $$\mathrm{\angle }APB=\frac{\pi }{2}$$ である。$AB=1$、$BP=x$ より、直角三角形 $ABP$ で $$AP=\sqrt{1-x^2}$$ である。 $\mathrm{\angle }PBQ=\mathrm{\angle }PBA$ とおく。この角を $\phi$ とすれば、直角三角形 $ABP$ から $$\cos \phi =x,\sin \phi =\sqrt{1-x^2}$$ である。三角形 $BPQ$ では $\mathrm{\angle }BPQ=\pi \mathrm{/}3$ であり、$PQ=y$、$BP=x$ である。正弦定理より $$\frac{y}{\sin \phi }=\frac{x}{\sin (\phi +\pi \mathrm{/}3)}$$ である。ここで$$\sin (\phi +\pi \mathrm{/}3)=\frac{1}{2}\sin \phi +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \phi =\frac{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{3}x}{2}$$だから $$y=\frac{2x\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{3}x+\sqrt{1-x^2}}$$ である。

(2) $r=\tan \phi (r>0)$ とおく。すると$$x=\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{1+r^2}},\sqrt{1-x^2}=\sin \phi =\frac{r}{\sqrt{1+r^2}}$$である。(1)の式は $$y=\frac{2r}{(r+\sqrt{3})\sqrt{1+r^2}}$$ となる。 $r\to 0+$ または $r\to \mathrm{\infty }$ で $y\to 0$ であるから、最大は内部で起こる。対数微分を用いると $$\frac{d}{dr}\log y=\frac{1}{r}-\frac{1}{r+\sqrt{3}}-\frac{r}{1+r^2}$$ である。これを0とおくと $$\frac{1}{r}-\frac{1}{r+\sqrt{3}}-\frac{r}{1+r^2}=0$$ であり、整理して $r^3=\sqrt{3}$ を得る。したがって $r=3^{1\mathrm{/}6}$ である。この前後で $y$ は増加から減少に変わるので、ここで最大をとる。

よって求める $x$ は $$x=\frac{1}{\sqrt{1+r^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+3^{1\mathrm{/}3}}}$$ である。

円周角と三角形 $BPQ$ の角の対応は次の図で確認できる。