東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
1回の操作で $A$ が選ばれる確率は $1\mathrm{/}6$ である。2回目の操作が終わった時点で $A$ が2個の赤玉を手に入れているには、2回とも $A$ が選ばれ、2回とも赤玉を取り出していなければならない。

玉は戻さないので、2個続けて赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}$ である。したがって求める確率は $${\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}=\frac{1}{540}$$ である。

(2)
1回の操作で $B$ が選ばれる確率は $2\mathrm{/}6=1\mathrm{/}3$ である。2回のうち $B$ が選ばれる回数を $K$ とすると $$P(K=0)=\frac{4}{9},P(K=1)=\frac{4}{9},P(K=2)=\frac{1}{9}$$ である。 $B$ が赤玉を1個も手に入れない確率を求める。$K=0$ のときはその確率は $1$ である。$K=1$ のときは、$B$ が取る1個が白玉であればよいので $7\mathrm{/}10$ である。$K=2$ のときは、$B$ が取る2個がどちらも白玉であればよいので $$\frac{7}{10}\cdot \frac{6}{9}=\frac{7}{15}$$ である。

したがって $B$ が赤玉を1個も得ない確率は $$\frac{4}{9}+\frac{4}{9}\cdot \frac{7}{10}+\frac{1}{9}\cdot \frac{7}{15}=\frac{109}{135}$$ である。よって、少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率は $$1-\frac{109}{135}=\frac{26}{135}$$ である。

(3)
3回目の操作で $C$ が選ばれる確率は $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ である。次に、3回目に取り出される玉が赤玉である確率を考える。

取り出す人の決まり方は玉の色と独立であり、玉だけに注目すれば、10個の玉を無作為に順に取り出しているのと同じである。したがって、3番目に取り出される玉が最初の3個の赤玉のどれかである確率は $\frac{3}{10}$ である。

よって、3回目の操作で $C$ が赤玉を取り出す確率は $$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{10}=\frac{3}{20}$$ である。

(1) は必要な選択と色を直接掛ける。(2) は各回に $B$ が赤玉を取る事象の和を包除原理で数える。(3) は10個の玉を無作為な順に並べたと考え、第3位置が赤である確率と第3回に $C$ が選ばれる確率を掛ける。

(1) $${\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}=\frac{1}{540}\text{（答）}$$である。

(2)
第 $i$ 回に $B$ が選ばれて赤玉を取る事象を $E_i$ とする。各取り出し位置の玉が赤である周辺確率は $3\mathrm{/}10$ なので$$P(E_1)=P(E_2)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{10}=\frac{1}{10}$$である。また$$P(E_1\cap E_2)={\left(\frac{1}{3}\right)}^2\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}=\frac{1}{135}$$である。したがって$$P(E_1\cup E_2)=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{135}=\frac{26}{135}\text{（答）}$$となる。

(3)
玉だけを見れば、10個を無作為に並べた順に取り出している。したがって第3位置が赤玉である確率は $3\mathrm{/}10$ である。第3回に $C$ が選ばれる確率は $1\mathrm{/}2$ であり、これは玉の並びと独立だから$$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{10}=\frac{3}{20}\text{（答）}$$である。