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東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

平面上に長さ3の線分OAを考え，
ベクトルOA→をa→で表す．
0<t<1を満たす実数tに対して，
OP→=ta→となるように点Pを定める．
大きさ2のベクトルb→を
a→と角θ (0<θ<π)をなすようにとり，
点BをOB→=b→で定める．
線分OBの中点をQとし，線分AQと線分BPの交点をRとする．
このとき，どのようにθをとっても
OR→とAB→が垂直にならないような
tの値の範囲を求めよ．

難易度6/ 10計算量6/ 10目安25分

ベクトル、方程式・不等式　ベクトル成分計算、内積の利用、範囲評価

方針

交点 R を OA→=a⃗、OB→=b⃗ の一次結合で表す。R は線分 AQ 上かつ線分 BP 上にあるので、2通りの表示を係数比較すれば OR→ が ta⃗+(1−t)b⃗ の形で出る。直交条件は OR→⋅AB→=0。ここで ∣a⃗∣=3、∣b⃗∣=2、a⃗⋅b⃗=6cos⁡θ を代入し、cos⁡θ∈(−1,1) に解をもつ t を調べる。最後に、その補集合が「どのように θ をとっても垂直にならない」範囲である。

解答

OA→=a⃗、OB→=b⃗ とおく。条件より∣a⃗∣=3,∣b⃗∣=2,a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=6cos⁡θである。また OP→=ta⃗,OQ→=12b⃗ である。

まず R の位置ベクトルを求める。R は線分 AQ 上にあるので、ある実数 λ を用いて OR→=(1−λ)a⃗+λ2b⃗ と書ける。また、R は線分 BP 上にもあるので、ある実数 μ を用いて OR→=μta⃗+(1−μ)b⃗ と書ける。係数を比較して 1−λ=μt,λ2=1−μ である。第2式から μ=1−λ/2 であり、これを第1式へ代入すると 1−λ=t(1−λ2) である。整理して 1−t=λ(1−t2) だから、0<t<1 より 2−t>0 で λ=2(1−t)2−t となる。したがってOR→=t2−ta⃗+1−t2−tb⃗=ta⃗+(1−t)b⃗2−tである。

次に AB→=b⃗−a⃗ であるから、直交条件は OR→⋅AB→=0 である。分母 2−t は正なので、分子だけを調べればよい。{ta⃗+(1−t)b⃗}⋅(b⃗−a⃗)=t(a⃗⋅b⃗−∣a⃗∣2)+(1−t)(∣b⃗∣2−a⃗⋅b⃗)=t(6cos⁡θ−9)+(1−t)(4−6cos⁡θ)=(12t−6)cos⁡θ+4−13tである。

したがって、OR→ と AB→ が垂直になる θ が存在する条件は (12t−6)cos⁡θ+4−13t=0 を満たす cos⁡θ∈(−1,1) が存在することである。 t=1/2 のとき、左辺は 4−13⋅12=−52 となり、θ によらず0にならない。t≠1/2 のときは cos⁡θ=13t−412t−6 である。よって垂直になる θ が存在する条件は ∣13t−412t−6∣<1 である。これは (13t−4)2<(12t−6)2 と同値であり、整理すると 25t2+40t−20<0 すなわち 5t2+8t−4<0 である。因数分解して (5t−2)(t+2)<0 となる。0<t<1 なので、これは 0<t<25 を意味する。

したがって、ある θ で垂直になるのは 0<t<2/5 のときである。求めるのは、どのように θ をとっても垂直にならない t の範囲なので 25≦t<1 である。なお t=2/5 では cos⁡θ=−1 が必要になるが、問題では 0<θ<π なので θ=π は含まれず、垂直にはならない。

点 R は2本の線分 AQ と BP の交点である。図は一例で、θ を動かしても係数表示は変わらない。

総評

交点をベクトルで表し、最後に cos⁡θ の取り得る範囲へ落とす問題である。目安時間は25分。計算の山場は R の位置ベクトルで、AQ 上と BP 上の2表示を丁寧に係数比較できれば後半が見通しやすい。直交条件では a⃗⋅b⃗=6cos⁡θ と ∣a⃗∣2=9、∣b⃗∣2=4 を入れるだけだが、12t−6=0 となる t=1/2 の扱いを飛ばさないこと。端点 t=2/5 では cos⁡θ=−1 となり、0<θ<π の範囲外であるため含まれる。

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出典: 東北大学 2011年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。