東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

問題の点 $P(1,1)$ を $P_0$ と書くことにする。すると $P_n$ は $P_0$ に行列 $A$ を $n$ 回作用させた点である。$$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 4& -1\end{array}\right)=I+N,N=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -2\end{array}\right)$$とおく。このとき$$N^2=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-4& -2+2\\ 8-8& -4+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$である。したがって $N^2=O$ であり、$n\geqq 1$ について $A^n=(I+N{)}^n=I+nN$ となる。実際、二項展開で $N^2$ 以上の項がすべて零行列になるからである。

初期点を列ベクトルで$$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$と書くと$$N\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-1\\ 4-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$$である。よって$$A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=(I+nN)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+n\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1\\ 2n+1\end{array}\right)$$である。したがって $P_n=(n+1,2n+1)$ である。

点 $Q(10,10)$ までの距離の2乗を $d_n^2$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle d_n^2}& {\displaystyle =(n+1-10{)}^2+(2n+1-10{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-9{)}^2+(2n-9{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n^2-18n+81+4n^2-36n+81}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5n^2-54n+162}\end{array}$$である。平方完成すると $$5n^2-54n+162=5{(n-\frac{27}{5})}^2+\frac{84}{5}$$ である。実数 $n$ では $n=27\mathrm{/}5=5.4$ に最も近いところで最小となる。正の整数 $n$ では候補は $5,6$ である。

実際に比べると $$d_5^2=(5-9{)}^2+(10-9{)}^2=16+1=17$$ であり、$$d_6^2=(6-9{)}^2+(12-9{)}^2=9+9=18$$ である。したがって最も近くなるのは $n=5$ のときである。

行列の累乗を先に求めず、$P_n=(x_n,y_n)$ の2本の座標漸化式を立てる。初項から $x_n=n+1,y_n=2n+1$ を予想して数学的帰納法で証明し、点 $Q$ までの距離の2乗を隣接整数で比較する。

問題の点 $P(1,1)$ を $P_0$ とおき、$$P_n=(x_n,y_n)$$とする。行列 $A$ の作用から$$\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=3x_n-y_n,\\ y_{n+1}=4x_n-y_n\end{array}$$である。

ここで$$\begin{array}{cccc}& P_n=(n+1,2n+1)& & \text{(1)}\end{array}$$と予想する。$n=0$ では $P_0=(1,1)$ だから正しい。また、(1)が $n$ で成り立つと仮定すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_{n+1}}& {\displaystyle =3(n+1)-(2n+1)=n+2,}\\ {\displaystyle y_{n+1}}& {\displaystyle =4(n+1)-(2n+1)=2n+3=2(n+1)+1}\end{array}$$である。よって数学的帰納法により (1) はすべての $n\geqq 0$ で成り立つ。

点 $Q(10,10)$ までの距離の2乗は$$d_n^2=(n-9{)}^2+(2n-9{)}^2=5n^2-54n+162$$である。差を取ると$$d_{n+1}^2-d_n^2=10n-49$$だから、$n\leqq 4$ では減少し、$n\geqq 5$ では増加する。したがって最小となる正の整数は$$n=5\text{（答）}$$である。実際、$d_5^2=17<18=d_6^2$ である。