東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $z\mathrm{\ne }0$ なので、与式 $$z+1-\frac{a}{z}=0$$ の両辺に $z$ をかけることができる。すると $z^2+z-a=0$ である。したがって $$z=\frac{-1\pm \sqrt{1+4a}}{2}$$ である。ただし、$1+4a<0$ のときは平方根を虚数で表して $$z=\frac{-1\pm i\sqrt{-1-4a}}{2}$$ となる。

また、$z=0$ は問題の条件で除かれている。2次方程式 $z^2+z-a=0$ に $z=0$ を代入すると $-a=0$ だから、0が根になるのは $a=0$ のときだけである。このとき根は $0,-1$ なので、許される解は $z=-1$ のみである。

よって、答えは次のようにまとめられる。$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle z=\frac{-1\pm \sqrt{1+4a}}{2}}& (a\geqq -{\displaystyle \frac{1}{4}},a\mathrm{\ne }0),\\ {\displaystyle z=-1}& (a=0),\\ {\displaystyle z=\frac{-1\pm i\sqrt{-1-4a}}{2}}& (a<-{\displaystyle \frac{1}{4}})\mathrm{.}\end{array}$$ただし $a=-1\mathrm{/}4$ のときは、上の第1行で重解 $z=-1\mathrm{/}2$ を表している。

(2)
与式 $$\bar{z}+1-\frac{a}{z}=0$$ の両辺に $z$ をかけると $z\bar{z}+z-a=0$ すなわち $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2+z-a=0$ である。

ここで $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$ と $a$ は実数である。したがって上式の虚部を比較すると、$z$ の虚部は0でなければならない。よって $z$ は非零の実数である。$z=x$ $(x\mathrm{\ne }0)$ とおくと $x^2+x-a=0$ である。

この2次方程式が実数解をもつ条件は判別式より $1+4a\geqq 0$ である。すなわち $a\geqq -\frac{1}{4}$ である。さらに $a=0$ のときは根が $0,-1$ であり、非零の根 $-1$ が存在するので除外する必要はない。したがって求める範囲は $a\geqq -\frac{1}{4}$ である。

(3)
与式 $$z(\bar{z}{)}^2+\bar{z}-\frac{a}{z}=0$$ の両辺に $z$ をかけると $$z^2(\bar{z}{)}^2+z\bar{z}-a=0$$ である。ここで $$z^2(\bar{z}{)}^2=(z\bar{z}{)}^2=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^4,z\bar{z}=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$$ だから $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^4+\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2-a=0$ となる。 $r=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$ とおくと、$z\mathrm{\ne }0$ より $r>0$ であり、条件は $r^2+r-a=0$ を満たす $r>0$ が存在することである。これは $a=r^2+r$ を満たす $r>0$ が存在することと同じである。$r>0$ なら $r^2+r>0$ であるから、必要条件として $a>0$ である。

逆に $a>0$ なら、関数 $r^2+r$ は $r>0$ で0より大きい値を連続的にとり、$r$ を大きくするといくらでも大きくなる。実際、方程式 $r^2+r-a=0$ の正の解は $$r=\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}>0$$ である。この $r$ に対して $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2=r$ となる複素数 $z$ を選べばよい。

したがって求める範囲は $a>0$ である。