東北大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

正六角形 $X$ の頂点を$$(1,0),(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),(-1,0),(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}),(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$$とする。また $$P=(1,0),Q=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$ とおく。

(1)
$AP=P$ とする。点 $$Q-P=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$ も $X$ の頂点であるから，仮定より $AQ$ と $A(Q-P)=AQ-AP=AQ-P$ はいずれも $X$ の辺上にある。

ここで，正六角形の6本の辺を座標で調べると，点 $Y$ と点 $Y-P$ がともに $X$ の辺上にあるような点 $Y$ は$$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$$に限られる。実際，$X$ と $P+X$ の共通部分で，両方の境界上にある点はこの2点である。

したがって $AQ=Q$ または $$AQ=({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$ である。$P,Q$ は同一直線上にないので，$P,Q$ の像が決まれば行列 $A$ は一意に決まる。

$AQ=Q$ のとき，$P,Q$ がともに固定されるので$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。

$AQ=(1\mathrm{/}2,-\sqrt{3}\mathrm{/}2)$ のとき，$P$ は固定され，$Q$ は $x$ 軸に関して対称な頂点に移る。よって$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$である。

以上の2つはいずれも正六角形の頂点を頂点に移す。したがって，$P$ が $P$ 自身に移るとき，$X$ の各頂点は $X$ のいずれかの頂点に移り，行列は$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$である。

(2)
$P$ の像が $X$ のある頂点であるとする。原点を中心とする角 $k\pi \mathrm{/}3$ の回転を表す行列を$$R_k=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{k\pi }{3}& -\sin \frac{k\pi }{3}\\ \sin \frac{k\pi }{3}& \cos \frac{k\pi }{3}\end{array}\right)(k=0,1,2,3,4,5)$$とする。$AP$ はある頂点なので，ある $k$ によって $AP=R_{k}P$ と書ける。

このとき $R_k^{-1}A$ を考える。回転 $R_k^{-1}$ は正六角形 $X$ をそれ自身に移すので，$A$ による像が $X$ の辺上にあるという条件は保たれる。また $(R_k^{-1}A)P=P$ である。したがって (1) より $R_k^{-1}A=I$ または$$R_k^{-1}A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$である。

よって$$A=R_k\text{または}A=R_k\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)(k=0,1,2,3,4,5)$$である。これらは回転または回転と $x$ 軸対称の合成であり，いずれも正六角形の頂点を正六角形の頂点に移す。したがって，この場合も $X$ の各頂点は $X$ のいずれかの頂点に移る。

正六角形の基準頂点

一次変換は、一次独立な $P,Q$ の像が決まれば一意に定まる。