東北大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

角 $\theta$ の回転を表す行列は$$R=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$である。また，直線 $y=x$ に関する対称移動を表す行列は$$S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$である。

問題では，まず回転を行い，さらに直線 $y=x$ に関する対称移動を行うので，合成変換は$$SR=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\sin \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & -\sin \theta \end{array}\right)$$で表される。

一方，直線 $y=\sqrt{3}x$ は $x$ 軸となす角が ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ である。角 $\phi$ の直線に関する対称移動の行列は$$\left(\begin{array}{cc}\cos 2\phi & \sin 2\phi \\ \sin 2\phi & -\cos 2\phi \end{array}\right)$$であるから，$\phi =\pi \mathrm{/}3$ として$$\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{2\pi }{3}& \sin \frac{2\pi }{3}\\ \sin \frac{2\pi }{3}& -\cos \frac{2\pi }{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$である。

したがって係数を比較して $$\sin \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}},\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。$0\leqq \theta <2\pi$ より $$\theta ={\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$$ である。

2本の反射軸

反射軸の方向角は $\pi \mathrm{/}4$ と $\pi \mathrm{/}3$。合成では角の向きを追う。

方向角が $\varphi$ の半直線を追跡する。角 $\theta$ の回転後、方向角 $\pi \mathrm{/}4$ の直線で反射すると $\pi \mathrm{/}2-\theta -\varphi$ へ移る。一方、方向角 $\pi \mathrm{/}3$ の直線での反射は $2\pi \mathrm{/}3-\varphi$ へ移るので、両者を比較する。

方向角が $\varphi$ の半直線を考える。まず角 $\theta$ だけ回転すると、方向角は$$\varphi +\theta$$になる。

次に直線 $y=x$、すなわち方向角 $\pi \mathrm{/}4$ の直線に関して対称移動すると、方向角は$$2\cdot \frac{\pi }{4}-(\varphi +\theta )=\frac{\pi }{2}-\theta -\varphi$$になる。

一方、直線 $y=\sqrt{3}x$ の方向角は $\pi \mathrm{/}3$ であり、この直線に関する対称移動では$$\varphi ⟼2\cdot \frac{\pi }{3}-\varphi =\frac{2\pi }{3}-\varphi$$である。2つの変換が一致するための条件は$$\frac{\pi }{2}-\theta -\varphi \equiv \frac{2\pi }{3}-\varphi (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$である。したがって$$\theta \equiv -\frac{\pi }{6}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )\mathrm{.}$$$0\leqq \theta <2\pi$ より$$\theta =\frac{11\pi }{6}$$である。