東北大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
直線 $y=mx$ 方向のベクトルを $\vec{u}=(1,m)$ とする。この直線に関する対称移動では、$\vec{u}$ 方向の成分はそのまま残り、垂直方向の成分は符号が反転する。計算すると、点 $(x,y)$ の像 $(X,Y)$ は$$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\frac{1}{1+m^2}\left(\begin{array}{cc}1-m^2& 2m\\ 2m& m^2-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$である。したがって$$A=\frac{1}{1+m^2}\left(\begin{array}{cc}1-m^2& 2m\\ 2m& m^2-1\end{array}\right)$$である。

(2)
直線 $y=x$ に関する対称移動 $f$ は、座標を入れ替える変換なので、行列は$$F=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$である。合成 $g\circ f$ は先に $f$、次に $g$ を行うので、行列は $B=AF$ である。よって$$B=\frac{1}{1+m^2}\left(\begin{array}{cc}1-m^2& 2m\\ 2m& m^2-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$$$=\frac{1}{1+m^2}\left(\begin{array}{cc}2m& 1-m^2\\ m^2-1& 2m\end{array}\right)$$である。

(3)
(2)の行列は$$B=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)$$の形であり、$$\cos \varphi =\frac{2m}{1+m^2},\sin \varphi =\frac{m^2-1}{1+m^2}$$ と読める。したがって $B$ は原点まわりの回転を表す。 $B^3=E$ となるには、3回回転した角が $2\pi$ の整数倍であればよい。したがって $\varphi \equiv 0,\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$ である。 $\varphi \equiv 0$ のときは $\sin \varphi =0$、$\cos \varphi =1$ なので $$\frac{m^2-1}{1+m^2}=0$$ かつ $2m\mathrm{/}(1+m^2)=1$ となり、$m=1$ である。

残り2つの場合は $\cos \varphi =-1\mathrm{/}2$ であるから $$\frac{2m}{1+m^2}=-\frac{1}{2}$$ を解けばよい。すなわち $m^2+4m+1=0$ であり、$m=-2\pm \sqrt{3}$ を得る。よって $$m=1,-2+\sqrt{3},-2-\sqrt{3}$$ である。

直線 $y=mx$ の方向角を $\theta$ とする。反射行列を方向ベクトルから作り、$g\circ f$ は2本の軸のなす角の2倍だけ回転する変換であることを使う。3回の合成が恒等変換になる方向角を先に求め、最後に $m=\tan \theta$ へ戻す。

(1)
$\tan \theta =m$ とし、直線 $y=mx$ の単位方向ベクトルを$$\mathit{e}=(\cos \theta ,\sin \theta )=\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}(1,m)$$とする。任意のベクトル $\mathit{v}$ をこの直線に関して反射すると$$\mathit{v}⟼2(\mathit{e}\cdot \mathit{v})\mathit{e}-\mathit{v}$$である。したがって$$A=2\mathit{e}{}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\mathit{e}-E=\frac{1}{1+m^2}\left(\begin{array}{cc}1-m^2& 2m\\ 2m& m^2-1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
直線 $y=x$ に関する反射行列は$$F=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$だから、$$B=AF=\frac{1}{1+m^2}\left(\begin{array}{cc}2m& 1-m^2\\ m^2-1& 2m\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)
直線 $y=x$ の方向角は $\pi \mathrm{/}4$ である。2直線に関する反射を続けて行うと、
その合成は原点を中心とする角$$2(\theta -\frac{\pi }{4})$$の回転になる。よって $B^3=E$ であるための必要十分条件は$$6(\theta -\frac{\pi }{4})\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$である。直線の方向角を $\pi$ を法として考えると$$\theta \equiv \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi )\mathrm{.}$$したがって$$m=\tan \theta =1,-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}\mathrm{.}$$