東北大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$は、原点を中心とする ${135}^{\circ }$ の回転を表す行列である。したがって $A^4$ は $${135}^{\circ }\times 4={540}^{\circ }$$ の回転、すなわち ${180}^{\circ }$ の回転を表す。よって $A^4=-E$ である。

(2) $${\mathit{p}}_n=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right),\mathit{e}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$とおく。条件は$${\mathit{p}}_n=A{\mathit{p}}_{n-1}+\mathit{e},{\mathit{p}}_0=\mathit{e}$$である。これを繰り返すと $${\mathit{p}}_n=A^n{\mathit{p}}_0+(E+A+\cdots +A^{n-1})\mathit{e}$$ であり、$${\mathit{p}}_0=\mathit{e}$$ だから $${\mathit{p}}_n=(E+A+A^2+\cdots +A^n)\mathit{e}$$ である。

また、$$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^n)=E-A^{n+1}$$ である。$E-A$ は逆行列をもつので、$$E+A+A^2+\cdots +A^n=(E-A^{n+1})(E-A{)}^{-1}$$ である。したがって$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=(E-A^{n+1})(E-A{)}^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$が成り立つ。

(3)
(1) より $A^8=E$ である。したがって $${\mathit{p}}_n=(E+A+\cdots +A^n)\mathit{e}$$ は $n$ を $8$ で割った余りだけで決まる。 $\mathit{e}$ を順に ${135}^{\circ }$ ずつ回転したベクトルを加えていくと、$n\equiv 0,1,\dots ,7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ に対する $O{P}_n^2$ はそれぞれ$$1,2-\sqrt{2},3-2\sqrt{2},4-2\sqrt{2},3-2\sqrt{2},2-\sqrt{2},1,0$$となる。たとえば $n=3$ では$${\mathit{p}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}-1\end{array}\right)$$なので $$O{P}_3^2=1+(\sqrt{2}-1{)}^2=4-2\sqrt{2}$$ である。

上の8つの値のうち最大は $4-2\sqrt{2}$ であり、これは $n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ のときである。したがって求める $n$ は $$n=8m+3(m=0,1,2,\dots )$$ である。

点 $P_n$ を複素数 $z_n=x_n+i{y}_n$ で表す。行列 $A$ は複素数 $q=e^{3\pi i\mathrm{/}4}$ を掛ける回転なので、$z_n=1+q+\cdots +q^n$ となる。距離は等比和の分子 $\mathrm{\mid }1-q^{n+1}\mathrm{\mid }$、すなわち単位円上の弦の長さで比較する。

$$q=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=e^{3\pi i\mathrm{/}4}$$とおく。行列 $A$ の作用は複素数に $q$ を掛けることに対応する。

(1) $$q^4=e^{3\pi i}=-1$$であるから、$A^4=-E$ である。

(2)
$z_n=x_n+i{y}_n$ とおけば、漸化式は$$z_n=q{z}_{n-1}+1,z_0=1$$となる。これを繰り返して$$z_n=1+q+q^2+\cdots +q^n$$を得る。これはベクトル表示では$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=(E+A+\cdots +A^n)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=(E-A^{n+1})(E-A{)}^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$であり、示す式が得られる。

(3)
$q\mathrm{\ne }1$ より$$O{P}_n=\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }=\frac{\mathrm{\mid }1-q^{n+1}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }1-q\mathrm{\mid }}=\frac{\mid \sin \frac{3(n+1)\pi }{8}\mid }{\sin \frac{3\pi }{8}}\mathrm{.}$$分母は一定である。分子が最大値1をとる条件は$$3(n+1)\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$$である。3の逆元は3なので$$n+1\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8),n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)\mathrm{.}$$したがって$$n=8k+3(k=0,1,2,\dots )$$である。これは、単位円上の点 $1$ と $q^{n+1}$ の弦が直径になるときに距離が最大になる、という幾何的意味をもつ。