東北大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

$x=y=0$ を代入すると $f(0)+f(0)=f(0)$ であるから $f(0)=0$ である。次に $y=-x$ とすると、$-1<x<1$ では $${\displaystyle \frac{x+(-x)}{1+x(-x)}=0}$$ である。したがって $f(x)+f(-x)=f(0)=0$ となり、$f(x)=-f(-x)$ である。

(2)

$-1<x<1$ を固定する。$y$ を0に近づけるとき $${\displaystyle z=\frac{x+y}{1+xy}}$$ とおくと、$z\to x$ であり、関数方程式より $f(z)-f(x)=f(y)$ である。また $${\displaystyle z-x=\frac{x+y-x(1+xy)}{1+xy}=\frac{(1-x^2)y}{1+xy}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{f(z)-f(x)}{z-x}=\frac{f(y)}{y}\cdot \frac{1+xy}{1-x^2}}$$ である。

条件より $f$ は0で微分可能で、$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$ であり、また $f(0)=0$ であるから $${\displaystyle \underset{y\to 0}{\lim }\frac{f(y)}{y}=1}$$ である。よって $y\to 0$、すなわち $z\to x$ とすると $${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{1-x^2}}$$ を得る。したがって $f$ は $-1<x<1$ の全体で微分可能であり、$${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{1-x^2}}$$ である。

(3)

(2) より $${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x})}$$ である。$f(0)=0$ なので、$0$ から $x$ まで積分して$$f(x)={\int }_0^x\frac{dt}{1-t^2}=\frac{1}{2}{[\log (1+t)-\log (1-t)]}_0^x$$である。したがって $${\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\log \frac{1+x}{1-x}}$$ である。

$u=(1+x)\mathrm{/}(1-x)$ によって区間 $(-1,1)$ を正の実数へ移す。加法公式型の演算が積に変わるため、関数方程式を $F(uv)=F(u)+F(v)$ とし、$u=1$ での微分係数から対数関数を一意に決める。

(1)

$x=y=0$ を代入すると $f(0)=0$ である。さらに $y=-x$ とすれば$$f(x)+f(-x)=f(0)=0$$だから$$f(x)=-f(-x)$$である。

(2)

$u>0$ に対して$$x=\frac{u-1}{u+1}$$とおき、$$F(u)=f\left(\frac{u-1}{u+1}\right)$$と定める。恒等式$$\frac{1+\frac{x+y}{1+xy}}{1-\frac{x+y}{1+xy}}=\frac{1+x}{1-x}\cdot \frac{1+y}{1-y}$$より、もとの関数方程式は$$F(uv)=F(u)+F(v)(u>0,v>0)$$に変わる。

$x=(u-1)\mathrm{/}(u+1)$ について$${\frac{dx}{du}\mid }_{u=1}=\frac{1}{2}$$であり、$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$ だから $F$ は $u=1$ で微分可能で$$F^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{1}{2}$$である。

任意の $u>0$ を固定し、$v_n=u^{1\mathrm{/}n}$ とおくと $v_n\to 1$ であり、関数方程式から$$F(u)=nF(v_n)$$である。したがって$$F(u)=\frac{F(v_n)-F(1)}{v_n-1}n(v_n-1)$$である。$n\to \mathrm{\infty }$ とすると$$\frac{F(v_n)-F(1)}{v_n-1}⟶F^{\mathrm{\prime }}(1)=\frac{1}{2},n(u^{1\mathrm{/}n}-1)⟶\log u$$だから$$F(u)=\frac{1}{2}\log u$$を得る。

ここで $u=(1+x)\mathrm{/}(1-x)$ を戻せば$$f(x)=\frac{1}{2}\log \frac{1+x}{1-x}$$である。この式は $-1<x<1$ で微分可能であり、$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x})=\frac{1}{1-x^2}$$となる。

(3)

以上で関数は一意に定まり、求める関数は$$f(x)=\frac{1}{2}\log \frac{1+x}{1-x}$$である。