東北大 2015年度理系（後期）数学第1問｜問題・解答・解説

方針

(1) は2つの放物線の共有点を求める2次方程式の判別式を見る。(2)は傾き $m$ の $C_{1}$ の接線を作り、それが $C_{2}$ にも接する条件を $m$ の2次方程式にする。(3)は2本の共通接線の傾きを $m_{1}, m_{2}$ とし、解と係数の関係から交点の座標を $a$ で表して軌跡に直す。

解答

(1)

共有点の $x$ 座標は $x^{2} = - x^{2} + 2 a x - a$ を満たす。整理すると $2 x^{2} - 2 a x + a = 0$ すなわち $x^{2} - a x + \frac{a}{2} = 0$ である。共有点をもたない条件は、この2次方程式の判別式が負であることだから $D = a^{2} - 2 a = a (a - 2) < 0$ である。したがって $0 < a < 2$ である。

(2)

$C_{1} : y = x^{2}$ の傾き $m$ の接線は、接点の $x$ 座標が $m / 2$ なので $y = m x - \frac{m^{2}}{4}$ である。この直線が $C_{2} : y = - x^{2} + 2 a x - a$ にも接する条件を求める。代入して $- x^{2} + 2 a x - a = m x - \frac{m^{2}}{4}$ すなわち $x^{2} + (m - 2 a) x + a - \frac{m^{2}}{4} = 0$ が重解をもてばよい。判別式を0にすると $(m - 2 a)^{2} - 4 (a - \frac{m^{2}}{4}) = 0$ であり、整理して $m^{2} - 2 a m + 2 a (a - 1) = 0$ を得る。

この $m$ の2次方程式の判別式は $(- 2 a)^{2} - 4 \cdot 2 a (a - 1) = 4 a (2 - a)$ である。(1)の範囲 $0 < a < 2$ ではこれは正なので、異なる2つの実数解 $m$ が存在する。したがって共通接線は2本存在する。

(3)

2本の共通接線の傾きを $m_{1}, m_{2}$ とする。上の2次方程式より $m_{1} + m_{2} = 2 a, m_{1} m_{2} = 2 a (a - 1)$ である。2本の直線は $y = m_{1} x - \frac{m_{1}^{2}}{4}, y = m_{2} x - \frac{m_{2}^{2}}{4}$ であるから、その交点の $x$ 座標は $(m_{1} - m_{2}) x = \frac{m_{1}^{2} - m_{2}^{2}}{4}$ より $x = \frac{m_{1} + m_{2}}{4} = \frac{a}{2}$ である。 $y$ 座標は $y = m_{1} \cdot \frac{a}{2} - \frac{m_{1}^{2}}{4} = \frac{m_{1} (m_{1} + m_{2})}{4} - \frac{m_{1}^{2}}{4} = \frac{m_{1} m_{2}}{4} = \frac{a (a - 1)}{2}$ である。

したがって $x = a / 2$ とおけば、 $0 < a < 2$ より $0 < x < 1$ であり、 $y = \frac{(2 x) (2 x - 1)}{2} = 2 x^{2} - x$ である。よって交点の描く図形は $y = 2 x^{2} - x, 0 < x < 1$ で表される放物線の一部である。端点 $(0, 0)$ ， $(1, 1)$ は含まない。

端点 $(0, 0), (1, 1)$ は含まない。

別解

解法2（2つの接点を同時に置く）

方針

$C_{1}, C_{2}$ 上の接点の $x$ 座標をそれぞれ $s, t$ と置き、2本の接線が同じ直線になる条件を係数比較する。2つの共通接線を与える $s$ の2次方程式から、その交点を解と係数の関係で求める。

解答

(1)

共有点の $x$ 座標は $x^{2} = - x^{2} + 2 a x - a$ を満たす。すなわち $x^{2} - a x + \frac{a}{2} = 0$ であり、共有点をもたない条件は $a^{2} - 2 a < 0$ である。よって $0 < a < 2$ となる。

(2)

$C_{1}$ の $x = s$ における接線は $y = 2 s x - s^{2}$ である。 $C_{2}$ の $x = t$ における接線は $y = 2 (a - t) x + t^{2} - a$ である。両者が同じ直線である条件は $s + t = a, s^{2} + t^{2} = a$ である。 $t = a - s$ を代入すると $2 s^{2} - 2 a s + a^{2} - a = 0$ を得る。この2次方程式の判別式は $4 a^{2} - 8 (a^{2} - a) = 4 a (2 - a) > 0$ であるから、 $0 < a < 2$ では相異なる2つの実数解 $s_{1}, s_{2}$ が存在する。したがって共通接線は2本存在する。

(3)

上の2次方程式から $s_{1} + s_{2} = a, s_{1} s_{2} = \frac{a^{2} - a}{2}$ である。2本の接線 $y = 2 s_{1} x - s_{1}^{2}, y = 2 s_{2} x - s_{2}^{2}$ の交点を $(x, y)$ とすると、差を取って $2 (s_{1} - s_{2}) x = (s_{1} - s_{2}) (s_{1} + s_{2})$ である。 $s_{1} \neq s_{2}$ なので $x = \frac{s_{1} + s_{2}}{2} = \frac{a}{2}$ となる。また $y = 2 s_{1} \frac{a}{2} - s_{1}^{2} = s_{1} (a - s_{1}) = s_{1} s_{2} = \frac{a (a - 1)}{2}$ である。 $a = 2 x$ を消去すると $y = 2 x^{2} - x, 0 < x < 1$ を得る。

端点は $a = 0, 2$ に対応し、(1)の範囲に含まれないので白丸で表す。

総評

難度6、計算量6。目安時間は22分。判別式と接線条件を2段階で使う問題である。採点点は、共有点なしの範囲を $0 < a < 2$ と出すこと、傾き $m$ の共通接線条件を作ること、2本の接線の交点を解と係数の関係だけで処理することである。軌跡では $a$ の範囲から $0 < x < 1$ となり、端点を含まない点まで図示に反映したい。第2解法では主解法と異なる構造を用い、同じ結論を独立に再現した。

出典: 東北大学 2015年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東北大学 2015年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第1問