東北大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $\overrightarrow{OH}$ は面 $OAB$ 上のベクトルであるから、$$\overrightarrow{OH}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$$ とおける。与えられた角度から$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2},\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=\cos {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$$である。 $CH$ が面 $OAB$ に垂直であることは、$$(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{OH})\cdot \overrightarrow{a}=0,(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{OH})\cdot \overrightarrow{b}=0$$と表せる。したがって $$\frac{\sqrt{2}}{2}-x-\frac{1}{2}y=0,\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}x-y=0$$ である。両式を解くと $$x=y=\frac{\sqrt{2}}{3}$$ を得る。よって$$\overrightarrow{OH}=\frac{\sqrt{2}}{3}\overrightarrow{a}+\frac{\sqrt{2}}{3}\overrightarrow{b}$$である。

(2) $O{H}^2$ を内積で計算すると、$$O{H}^2={\mid \frac{\sqrt{2}}{3}\overrightarrow{a}+\frac{\sqrt{2}}{3}\overrightarrow{b}\mid }^2=\frac{2}{9}+\frac{2}{9}+2\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{3}$$である。$CH\perp OH$ であり $OC=1$ だから、直角三角形 $OCH$ において $$C{H}^2=O{C}^2-O{H}^2=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$ である。したがって $$CH=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ である。

(3)
底面 $\mathrm{△}OAB$ の面積は$$\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin {60}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$である。高さは (2) の $CH$ なので、四面体 $OABC$ の体積は $$\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{12}$$ である。