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東北大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

tは0<t<1を満たす実数とする。
1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，
辺OAをt:(1−t)に内分する点をD，
辺OBを2:1に内分する点をE，
辺ACを2:1に内分する点をFとする。
3点D，E，Fが定める平面をαとし，
平面αと辺BCとの交点をGとする。

(1) OG→をOB→，OC→，およびtを用いて表せ。

(2) 0<t<1における△EFGの面積の最小値を求めよ。

難易度7/ 10計算量7/ 10目安30分

ベクトル、図形と方程式、微分　ベクトル成分計算、内積の利用、微分による最大最小

方針

文系後期第4問を t で一般化して考える。G を辺 BC 上の (1−u)OB→+uOC→ と置き、D,E,F,G の同一平面条件を係数比較して u=t を求める。面積は EF→ と EG→ の内積で2乗を計算し、t の二次式の最小値に帰着する。

解答

(1) OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→とおく。正四面体なので∣a→∣=∣b→∣=∣c→∣=1,a→⋅b→=b→⋅c→=c→⋅a→=12である。

各点の位置ベクトルはOD→=ta→,OE→=23b→,OF→=13a→+23c→である。G は辺 BC 上にあるので OG→=(1−u)b→+uc→ とおく。 D,E,F,G が同一平面上にあるので DG→=λDE→+μDF→ と表せる。ここでDG→=−ta→+(1−u)b→+uc→,DE→=−ta→+23b→,DF→=(13−t)a→+23c→である。係数を比較して1−u=23λ,u=23μ,−t=−tλ+(13−t)μを得る。最初の2式から λ=32(1−u),μ=32u であり、これを3式目へ代入すると −2t=−3t(1−u)+(1−3t)u=−3t+u となる。したがって u=t である。よって OG→=(1−t)OB→+tOC→ である。

(2)
(1) よりEF→=13a→−23b→+23c→であり、EG→=(13−t)b→+tc→である。内積関係を用いると ∣EF→∣2=59, また∣EG→∣2=(13−t)2+t2+(13−t)t=t2−13t+19である。さらに EF→⋅EG→=12t−118 である。

したがって[△EFG]2=14(∣EF→∣2∣EG→∣2−(EF→⋅EG→)2)より [△EFG]2=36t2−36t+191296 である。平方根をとる前に、この二次式を最小にすればよい。平方完成すると 36t2−36t+19=36(t−12)2+10 である。0<t<1 で t=1/2 は許されるので、面積の最小値は 101296=1036 である。

図は t のある値での模式図である。D が OA 上を動くのに連動して、G は同じ内分比で BC 上を動く。

総評

難度7、目安時間30分。平面と辺の交点を係数比較で求める前半と、内積で面積の2乗を計算する後半の両方で計算力が問われる。採点上は、G の係数が u=t になるまでの導出を省略しないこと、面積を直接ではなく2乗で最小化することが重要である。典型ミスは、F が辺 AC を 2:1 に内分するため 13a→+23c→ になる点を逆にすることである。

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出典: 東北大学 2013年度 後期 数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。