東北大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

2個のさいころの目の和が $5$ 以下になる通り数を数えておく。和が $2,3,4,5$ となる通り数はそれぞれ $1,2,3,4$ であるから、合計で $1+2+3+4=10$ 通りである。

また、1回目が $5$ 以下で、2回の和が $6$ 以上となる通り数も数えておく。1回目を $1,2,3,4,5$ とすると、2回目の出目はそれぞれ $5,4,3,2,1$ 以上であればよい。したがって通り数は $2+3+4+5+6=20$ である。

(1) $B$ がちょうど1回投げて勝つには、$A$ の1回目でゲームが終わらず、$B$ の1回目が $6$ であればよい。すなわち $A$ の1回目は $1$ から $5$ のいずれかで、$B$ の1回目は $6$ である。よって求める確率は $$\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{36}$$ である。

(2) $B$ がちょうど2回投げて勝つには、$B$ の2回目の直前までゲームが終わっていない必要がある。したがって、$A$ の最初の2回の和は $5$ 以下であり、$B$ は1回目では勝たず、2回の和で $6$ 以上になればよい。 $A$ の2回の出方は上で数えた $10$ 通りである。$B$ の2回の出方は、1回目が $5$ 以下で2回合計が $6$ 以上となる $20$ 通りである。全体は4回のさいころ投げなので、求める確率は $$\frac{10\cdot 20}{6^4}=\frac{200}{1296}=\frac{25}{162}$$ である。

(3) $B$ がちょうど2回投げた時点でゲームが終了していないとは、$A$ の2回の合計も $B$ の2回の合計も、ともに $5$ 以下であるということである。どちらについても通り数は $10$ 通りなので、求める確率は $$\frac{10\cdot 10}{6^4}=\frac{100}{1296}=\frac{25}{324}$$ である。