東北大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

判別式は $$D=p_2^2-4\cdot 2p_1\cdot 2p_3=p_2^2-16p_1{p}_3$$ である。実数解をもつ条件は $D\geqq 0$ である。$p_2\leqq 6$ なので $p_2^2\leqq 36$ であり、$16p_1{p}_3\leqq 36$、すなわち $p_1{p}_3\leqq 2$ の場合だけを調べればよい。

$p_1{p}_3=1$ の場合は $(p_1,p_3)=(1,1)$ であり、$p_2^2\geqq 16$ だから $p_2=4,5,6$ の3通りである。$p_1{p}_3=2$ の場合は $(p_1,p_3)=(1,2),(2,1)$ であり、$p_2^2\geqq 32$ だから $p_2=6$ のみである。したがって有利な出方は $3+1+1=5$ 通りである。全事象は $6^3=216$ 通りなので、求める確率は ${\displaystyle \frac{5}{216}}$ である。

(2)

解と係数の関係より $${\displaystyle \alpha \beta =\frac{2p_3}{2p_1}=\frac{p_3}{p_1}}$$ である。したがって $\alpha \beta =1$ となるには $p_1=p_3$ が必要十分である。

$p_1=p_3=r$ とする。$r=1$ のとき、非実数解をもつ条件は $p_2^2-16<0$ なので $p_2=1,2,3$ の3通りである。$r=2,3,4,5,6$ のときは $16r^2\geqq 64>p_2^2$ であるから、$p_2=1,2,\dots ,6$ のすべてで非実数解をもつ。したがって有利な出方は $3+5\cdot 6=33$ 通りである。よって確率は $${\displaystyle \frac{33}{216}=\frac{11}{72}}$$ である。