方針
共通部分では 0≦x≦1 の範囲で、下側が y=4(x−t)2、上側が y=x2 になる。したがってまず 4(x−t)2≦x2 を解いて積分区間を求める。上端が 2t になるか 1 で止まるかで t=1/2 を境に場合分けし、得た面積関数を各区間で最大化する。
解答
(1)
図形 A は 0≦x≦1,0≦y≦x2 で表される。図形 B は 4(x−t)2≦y≦1 を満たす部分である。A の中では x2≦1 であるから、共通部分が存在するための条件は 4(x−t)2≦x2 である。 0≦x≦1 なので、これは −x≦2(x−t)≦x と同値である。よって 32t≦x≦2t である。さらに x≦1 も必要だから、積分区間は 32t≦x≦min(2t,1) となる。この区間で共通部分の縦の長さは x2−4(x−t)2 である。 0≦t≦21 のときは 2t≦1 だから、S(t)=∫2t/32t{x2−4(x−t)2}dx である。被積分関数は x2−4(x−t)2=−3x2+8tx−4t2 なので、S(t)=[−x3+4tx2−4t2x]2t/32t=2732t3 である。 21≦t≦1 のときは上端が 1 になるので、S(t)=∫2t/31{x2−4(x−t)2}dx である。したがってS(t)=[−x3+4tx2−4t2x]2t/31=27(2t−3)2(8t−3)である。
以上よりS(t)=⎩⎨⎧2732t327(2t−3)2(8t−3)(0≦t≦21),(21≦t≦1)である。
(2) 0≦t≦21 では S(t)=2732t3 であり、これは単調増加する。したがってこの区間での最大値は S(21)=274 である。 21≦t≦1 では S(t)=2732t3−108t2+108t−27 である。微分すると S′(t)=2796t2−216t+108=94(4t−3)(2t−3) である。この区間で臨界点は t=3/4 だけで、S′(t) は t=3/4 の前で正、後で負になる。よって最大値は S(43)=41 である。これは 4/27 より大きいので、求める最大値は 41 である。
場合分けは、交点の右端 x=2t が直線 x=1 に達するかどうかで決まる。次図の青色部分が共通部分である。
総評
難度6、目安時間24分。共通部分の上下関係を正しく読み、4(x−t)2≦x2 から積分区間を決めることが最重要である。場合分けの境目は、交点の右端 2t が直線 x=1 に達する t=1/2 で決まる。典型ミスは、B の条件 y≦1 を別に複雑化してしまうこと、また最大値比較で [0,1/2] 側の端点を確認しないことである。
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出典: 東北大学 2013年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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