東北大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

まず、2回のさいころの目の和が $5$ 以下となる通り数は $1+2+3+4=10$ 通りである。また、1回目では勝たず、2回の和が $6$ 以上となる通り数は、1回目が $1,2,3,4,5$ のときに2回目がそれぞれ $5,4,3,2,1$ 以上であればよいので、$2+3+4+5+6=20$ 通りである。

(1) $A$ がちょうど2回投げて勝つには、$A$ の1回目では勝たず、$A$ の2回の和が $6$ 以上になり、さらにその前に $B$ が1回目で勝っていない必要がある。したがって $A$ の出方は上の $20$ 通り、$B$ の1回目は $1$ から $5$ の $5$ 通りである。よって求める確率は $$\frac{20\cdot 5}{6^3}=\frac{100}{216}=\frac{25}{54}$$ である。

(2) $B$ がちょうど2回投げて勝つには、$B$ の2回目の直前までゲームが続いていなければならない。つまり、$A$ の最初の2回の和は $5$ 以下であり、$B$ は1回目では勝たず、2回の和で $6$ 以上になればよい。 $A$ の2回の出方は $10$ 通り、$B$ の2回の出方は $20$ 通りである。したがって $$\frac{10\cdot 20}{6^4}=\frac{25}{162}$$ である。

(3) $B$ がちょうど3回投げた時点でまだゲームが終了していないためには、$A$ の3回の合計も $B$ の3回の合計も $5$ 以下でなければならない。3個のさいころの目を $x,y,z$ とすると、$x+y+z\leqq 5$ である。$X=x-1,Y=y-1,Z=z-1$ とおけば $X+Y+Z\leqq 2,X,Y,Z\geqq 0$ である。この非負整数解の個数は $1+3+6=10$ 通りである。

よって $A$、$B$ それぞれについて $10$ 通りずつなので、求める確率は $$\frac{10\cdot 10}{6^6}=\frac{100}{46656}=\frac{25}{11664}$$ である。