東北大 2013年度理系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

$b_{n}$ は $e^{n \sin θ}$ の微分に $n \cos θ$ が現れるため、直接積分できる。 $a_{n}$ と $b_{n}$ の比較は、区間内での $\cos θ$ の範囲 $\sqrt{3} / 2 ≦ \cos θ ≦ 1$ を被積分関数に掛けて行う。最後は $a_{n}$ を $b_{n}$ ではさみ、 $n b_{n} = e^{n / 2} - e^{- n / 2}$ の対数の極限に帰着する。

解答

(1) $b_{n} = \int_{- π / 6}^{π / 6} e^{n \sin θ} \cos θ d θ$ である。 $e^{n \sin θ}$ を微分すると $\frac{d}{d θ} e^{n \sin θ} = n e^{n \sin θ} \cos θ$ だから、 $b_{n} = {[\frac{1}{n} e^{n \sin θ}]}_{- π / 6}^{π / 6}$ である。 $\sin (π / 6) = 1 / 2$ 、 $\sin (- π / 6) = - 1 / 2$ より $b_{n} = \frac{e^{n / 2} - e^{- n / 2}}{n}$ である。

(2) $- π / 6 ≦ θ ≦ π / 6$ では $\frac{\sqrt{3}}{2} ≦ \cos θ ≦ 1$ である。また $e^{n \sin θ} > 0$ であるから、 $e^{n \sin θ} \cos θ ≦ e^{n \sin θ}$ であり、積分して $b_{n} ≦ a_{n}$ を得る。

一方、 $\cos θ ≧ \sqrt{3} / 2$ より $e^{n \sin θ} ≦ \frac{2}{\sqrt{3}} e^{n \sin θ} \cos θ$ である。これを積分して $a_{n} ≦ \frac{2}{\sqrt{3}} b_{n}$ を得る。したがって $b_{n} ≦ a_{n} ≦ \frac{2}{\sqrt{3}} b_{n}$ である。

(3)
(2) の不等式に $n$ を掛けると $n b_{n} ≦ n a_{n} ≦ \frac{2}{\sqrt{3}} n b_{n}$ である。(1) より $n b_{n} = e^{n / 2} - e^{- n / 2} = e^{n / 2} (1 - e^{- n})$ だから $\frac{1}{n} \log (n b_{n}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \log (1 - e^{- n})$ である。ここで $\log (1 - e^{- n}) \to 0$ なので $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (n b_{n}) = \frac{1}{2}$ である。

さらに $\frac{1}{n} \log (n b_{n}) ≦ \frac{1}{n} \log (n a_{n}) ≦ \frac{1}{n} \log (n b_{n}) + \frac{1}{n} \log \frac{2}{\sqrt{3}}$ であり、右端と左端はいずれも $1 / 2$ に収束する。よってはさみうちにより $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (n a_{n}) = \frac{1}{2}$ である。

総評

難度5、目安時間18分。 $b_{n}$ は置換積分ではなく、 $e^{n \sin θ}$ の微分形に気づくと一行で処理できる。(2) は $\cos θ$ の上下界を、正の被積分関数に掛けて積分するのが採点ポイントである。極限では定数倍の違いは $(1 / n) \log$ で消えるため、 $a_{n}$ を直接評価しようとせず $b_{n}$ ではさむ方針が安定する。

出典: 東北大学 2013年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

方針

解答

総評

東北大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系数学第4問