東北大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

対数の中身を整理する。まず $$\frac{{10}^x\times {10}^y}{10}={10}^{x+y-1}$$ である。また$$10000\times \frac{{100}^x}{{100}^y}={10}^4\times \frac{{10}^{2x}}{{10}^{2y}}={10}^{2x-2y+4}$$であり $$1000\times \frac{{10}^{3x}}{{10}^y}={10}^{3x-y+3}$$ である。

ここで $$u=x+y-1,v=2x-2y+4$$ とおくと $u+v=3x-y+3$ である。したがって対数の中身は ${10}^u+{10}^v-{10}^{u+v}$ である。

与えられた不等式は ${\log }_{10}({10}^u+{10}^v-{10}^{u+v})\geqq 0$ である。底10は1より大きいので、これは ${10}^u+{10}^v-{10}^{u+v}\geqq 1$ と同値である。左辺を移項すると ${10}^u+{10}^v-{10}^{u+v}-1\geqq 0$ である。ここで $${10}^u+{10}^v-{10}^{u+v}-1=-({10}^u-1)({10}^v-1)$$ だから、条件は $({10}^u-1)({10}^v-1)\leqq 0$ となる。

指数関数 ${10}^w$ は単調増加であり ${10}^w-1$ の符号は $w$ の符号と一致する。したがって $({10}^u-1)({10}^v-1)\leqq 0$ は $uv\leqq 0$ と同値である。

元の $x,y$ に戻すと $(x+y-1)(2x-2y+4)\leqq 0$ である。2は正なので である。

よって求める領域は、2直線$$x+y=1,x-y+2=0$$に対して2因子の符号が反対になる2つの対頂領域であり、境界線も含む。