東北大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

直線 $l$ を $y=mx+c$ とおく。放物線 $C:y=x^2$ との交点の $x$ 座標を $u<v$ とする。条件 (i) より $u,v$ は相異なる実数である。

交点では $x^2=mx+c$ すなわち $x^2-mx-c=0$ が成り立つ。したがって $u,v$ はこの2次方程式の2解であり $u+v=m,uv=-c$ である。

交点間では直線が放物線より上にあるので、囲まれた面積は ${\int }_u^v(mx+c-x^2)dx$ である。ここで $$mx+c-x^2=-(x-u)(x-v)=(x-u)(v-x)$$ と書ける。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_u^v(mx+c-x^2)dx}& {\displaystyle ={\int }_u^v(x-u)(v-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{v-u}s\{(v-u)-s\}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(v-u{)}^3}{6}}\end{array}$$である。条件 (ii) よりこの値が36なので $$\frac{(v-u{)}^3}{6}=36$$ すなわち $v-u=6$ である。

一方、2次方程式 $x^2-mx-c=0$ の2解の差は判別式の平方根に等しいので $(v-u{)}^2=m^2+4c$ である。$v-u=6$ より $m^2+4c=36$ したがって $$c=9-\frac{m^2}{4}$$ である。

つまり条件を満たす直線は $$y=mx+9-\frac{m^2}{4}$$ と表される。点 $(X,Y)$ がこのような直線のどれかを通るためには、ある実数 $m$ が存在して $$Y=mX+9-\frac{m^2}{4}$$ となればよい。右辺を $m$ の2次関数として見ると $-\frac{1}{4}{m}^2+Xm+9$ であり、これは上に凸の放物線である。最大値は $m=2X$ のとき $X^2+9$ である。下向きの2次関数なので、実数 $m$ を動かしたとき右辺は $Y\leqq X^2+9$ のすべての値を取る。

したがって求める点の存在範囲は である。境界 $y=x^2+9$ 上の点も、$m=2x$ とすれば実現するので含まれる。

存在範囲を図示すると、放物線 $y=x^2+9$ の下側であり、境界も含む。