東北大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

円 $D$ の内部では $x>0,y>0$ である。したがって $T\cap D$ は、円 $D$ のうち$$x+y\leqq r$$を満たす部分である。$$u=\frac{x+y-2}{\sqrt{2}},v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$$と座標を取り直すと、円は$$u^2+v^2<1$$となり、三角形の斜辺 $x+y=r$ は$$u=\frac{r-2}{\sqrt{2}}$$となる。この座標変換は回転と平行移動なので面積を変えない。

$T\cap D$ の面積を $A(r)$ とおく。三角形 $T$ の面積は $r^2\mathrm{/}2$ だから$$F(r):=S(r)-2r=\frac{r^2}{2}-A(r)-2r\mathrm{.}$$円上で $x+y$ がとる範囲は$$2-\sqrt{2}\leqq x+y\leqq 2+\sqrt{2}$$である。

円と交わらない範囲
$0<r\leqq 2-\sqrt{2}$ では $A(r)=0$ なので$$F^{\mathrm{\prime }}(r)=r-2<0.$$また $r\geqq 2+\sqrt{2}$ では $A(r)=\pi$ なので$$F^{\mathrm{\prime }}(r)=r-2>0.$$円を横切る範囲$$2-\sqrt{2}<r<2+\sqrt{2}$$とする。$$s=\frac{r-2}{\sqrt{2}}$$とおけば、$A(r)$ は単位円の $u\leqq s$ の部分の面積である。$s$ の位置での弦長は$$2\sqrt{1-s^2}$$であり、$ds\mathrm{/}dr=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ だから$$A^{\mathrm{\prime }}(r)=2\sqrt{1-s^2}\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2-(r-2{)}^2}\mathrm{.}$$よって$$F^{\mathrm{\prime }}(r)=r-2-\sqrt{2-(r-2{)}^2}\mathrm{.}$$$r<2$ では明らかに $F^{\mathrm{\prime }}(r)<0$ である。$2\leqq r<3$ では$$(r-2{)}^2<2-(r-2{)}^2$$なので $F^{\mathrm{\prime }}(r)<0$、$3<r\leqq 2+\sqrt{2}$ では不等号が逆になり $F^{\mathrm{\prime }}(r)>0$ である。以上を両側の範囲とつなげると、$F$ は $r=3$ まで減少し、その後増加する。したがって最小となるのは$$r=3$$である。

$r=3$ では $s=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ である。単位円のうち $u>1\mathrm{/}\sqrt{2}$ の小さい円弧部分は、中心角 $\pi \mathrm{/}2$ の扇形から、2本の半径が作る直角三角形を引いたものである。その面積は$$\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$したがって$$A(3)=\pi -(\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2})=\frac{3\pi }{4}+\frac{1}{2}\mathrm{.}$$ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(3)}& {\displaystyle =\frac{9}{2}-(\frac{3\pi }{4}+\frac{1}{2})-6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2-\frac{3\pi }{4}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\text{最小値 }-2-\frac{3\pi }{4},r=3$$である。