東北大 2015年度理系（後期）数学第6問｜問題・解答・解説

方針

(1) は $u = \sqrt{1 + t}$ とおき、基本不等式 $\log X ≦ X - 1$ に帰着する。(2)は(1)を $t = x^{n}$ に適用し、 $\sqrt{1 + x^{n}} + 1 ≧ 2$ で上から評価する。(3)は合成関数の微分である。(4)は $J_{n}$ を部分積分して、 $1 - I_{n}$ と同じ積分が現れる形に変形し、(2)から $J_{n} \to \log 2$ を使う。

解答

(1)

$u = \sqrt{1 + t}$ とおくと $u ≧ 1$ であり、 $\frac{t}{2 (\sqrt{1 + t} + 1)} = \frac{u^{2} - 1}{2 (u + 1)} = \frac{u - 1}{2}$ である。一方、 $X = (u + 1) / 2$ とおくと $X > 0$ であり、基本不等式 $\log X ≦ X - 1$ より $\log \frac{u + 1}{2} ≦ \frac{u + 1}{2} - 1 = \frac{u - 1}{2}$ である。したがって $\log (\frac{\sqrt{1 + t} + 1}{2}) ≦ \frac{t}{2 (\sqrt{1 + t} + 1)}$ が成り立つ。

(2)

$0 ≦ x ≦ 1$ では $x^{n} ≧ 0$ なので $\sqrt{1 + x^{n}} + 1 ≧ 2$ であり、したがって $J_{n} - \log 2 = \int_{0}^{1} \log (\frac{\sqrt{1 + x^{n}} + 1}{2}) d x ≧ 0$ である。また(1)に $t = x^{n}$ を代入すると $\log (\frac{\sqrt{1 + x^{n}} + 1}{2}) ≦ \frac{x^{n}}{2 (\sqrt{1 + x^{n}} + 1)}$ である。分母は $2 (\sqrt{1 + x^{n}} + 1) ≧ 4$ だから $\log (\frac{\sqrt{1 + x^{n}} + 1}{2}) ≦ \frac{x^{n}}{4}$ である。よって $0 ≦ J_{n} - \log 2 ≦ \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{4} d x = \frac{1}{4 (n + 1)}$ である。

(3)

合成関数の微分により $\frac{d}{d x} \log (\sqrt{1 + x^{n}} + 1) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{n}} + 1} \cdot \frac{n x^{n - 1}}{2 \sqrt{1 + x^{n}}}$ である。したがって $\frac{d}{d x} \log (\sqrt{1 + x^{n}} + 1) = \frac{n x^{n - 1}}{2 \sqrt{1 + x^{n}} (\sqrt{1 + x^{n}} + 1)}$ である。

(4)

まず $1 - I_{n}$ を変形する。 $1 - I_{n} = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{n}}}) d x = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 + x^{n}} - 1}{\sqrt{1 + x^{n}}} d x$ である。分子を有理化して $\sqrt{1 + x^{n}} - 1 = \frac{x^{n}}{\sqrt{1 + x^{n}} + 1}$ だから $1 - I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{1 + x^{n}} (\sqrt{1 + x^{n}} + 1)} d x$ である。

次に $J_{n}$ を部分積分する。(3)より $J_{n} = {[x \log (\sqrt{1 + x^{n}} + 1)]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \cdot \frac{n x^{n - 1}}{2 \sqrt{1 + x^{n}} (\sqrt{1 + x^{n}} + 1)} d x$ である。したがって $J_{n} = \log (\sqrt{2} + 1) - \frac{n}{2} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{1 + x^{n}} (\sqrt{1 + x^{n}} + 1)} d x$ である。上で得た式と比較して $J_{n} = \log (\sqrt{2} + 1) - \frac{n}{2} (1 - I_{n})$ となる。よって $n (1 - I_{n}) = 2 {\log (\sqrt{2} + 1) - J_{n}}$ である。

(2) より $0 ≦ J_{n} - \log 2 ≦ \frac{1}{4 (n + 1)}$ だから $\lim_{n \to \infty} J_{n} = \log 2$ である。したがって $\lim_{n \to \infty} n (1 - I_{n}) = 2 {\log (\sqrt{2} + 1) - \log 2} = 2 \log \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ である。

総評

難度8、計算量7。目安時間は30分。前半の不等式評価で $J_{n} \to \log 2$ を作り、後半の部分積分で $n (1 - I_{n})$ と結びつける構成である。採点点は、 $\log X ≦ X - 1$ の使い方、 $J_{n} - \log 2$ の上界、(3)の微分、(4)で $1 - I_{n}$ と部分積分後の積分が同じになることの確認である。極限値は $J_{n}$ の極限を代入するだけなので、そこまでの式変形を丁寧に保つことが重要である。別解監査では、設問の誘導どおり $J_{n}$ の評価と部分積分で $I_{n}$ を結ぶことが核心であり、同じ恒等式の変形順だけを変える案は独立解法として数えていない。

出典: 東北大学 2015年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

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解答

総評

東北大学 2015年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第6問