東北大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

$2n\pi \leqq x\leqq (2n+1)\pi$ では $\sin x\geqq 0$ である。また $a>0$ なので $x^{-a}$ は単調減少し、$${\displaystyle \frac{1}{\{(2n+1)\pi {\}}^a}\leqq \frac{1}{x^a}\leqq \frac{1}{(2n\pi {)}^a}}$$ である。したがって$$\frac{\sin x}{\{(2n+1)\pi {\}}^a}\leqq \frac{\sin x}{x^a}\leqq \frac{\sin x}{(2n\pi {)}^a}$$である。これを積分し、$${\int }_{2n\pi }^{(2n+1)\pi }\sin xdx=2$$ を用いると $${\displaystyle \frac{2}{\{(2n+1)\pi {\}}^a}\leqq B_n\leqq \frac{2}{(2n\pi {)}^a}}$$ を得る。

(2)

三角形の底辺の長さは $\pi$、高さは ${\displaystyle \frac{1}{\{(2n+\frac{1}{2})\pi {\}}^a}}$ であるから $${\displaystyle A_n=\frac{\pi }{2\{(2n+\frac{1}{2})\pi {\}}^a}}$$ である。(1)より$$\frac{A_n}{2\mathrm{/}(2n\pi {)}^a}\leqq \frac{A_n}{B_n}\leqq \frac{A_n}{2\mathrm{/}\{(2n+1)\pi {\}}^a}$$である。すなわち$$\frac{\pi }{4}{\left(\frac{2n}{2n+1\mathrm{/}2}\right)}^a\leqq \frac{A_n}{B_n}\leqq \frac{\pi }{4}{\left(\frac{2n+1}{2n+1\mathrm{/}2}\right)}^a$$である。両端はともに $\pi \mathrm{/}4$ に収束するので、はさみうちにより $${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{A_n}{B_n}=\frac{\pi }{4}}$$ である。

(3)

同じ区間で ${\sin }^{2}x\geqq 0$ であり、$${\int }_{2n\pi }^{(2n+1)\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{\pi }{2\{(2n+1)\pi {\}}^a}\leqq C_n\leqq \frac{\pi }{2(2n\pi {)}^a}}$$ である。これと $A_n=\pi \mathrm{/}(2\{(2n+1\mathrm{/}2)\pi {\}}^a)$ を用いると$${\left(\frac{2n}{2n+1\mathrm{/}2}\right)}^a\leqq \frac{A_n}{C_n}\leqq {\left(\frac{2n+1}{2n+1\mathrm{/}2}\right)}^a$$となる。両端はともに1に収束するので $${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{A_n}{C_n}=1}$$ である。

$x=2n\pi +u$ によって積分区間を $[0,\pi ]$ に固定し、$(2n\pi {)}^a$ を掛けて主要項を直接読む。$B_n,C_n,A_n$ の正規化極限を別々に求めて比を取る。

(1)

$2n\pi \leqq x\leqq (2n+1)\pi$ では $\sin x\geqq 0$ であり、$$\frac{1}{\{(2n+1)\pi {\}}^a}\leqq \frac{1}{x^a}\leqq \frac{1}{(2n\pi {)}^a}$$である。各辺へ $\sin x$ を掛けて積分し、$${\int }_{2n\pi }^{(2n+1)\pi }\sin xdx=2$$を用いれば$$\frac{2}{\{(2n+1)\pi {\}}^a}\leqq B_n\leqq \frac{2}{(2n\pi {)}^a}$$を得る。

(2)

$x=2n\pi +u$ とおくと$$(2n\pi {)}^a{B}_n={\int }_0^{\pi }\sin u{\left(\frac{2n\pi }{2n\pi +u}\right)}^{a}du$$である。$0\leqq u\leqq \pi$ で$${\left(\frac{2n}{2n+1}\right)}^a\leqq {\left(\frac{2n\pi }{2n\pi +u}\right)}^a\leqq 1$$だから、はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(2n\pi {)}^a{B}_n={\int }_0^{\pi }\sin udu=2$$である。一方、$$(2n\pi {)}^a{A}_n=\frac{\pi }{2}{\left(\frac{2n}{2n+1\mathrm{/}2}\right)}^a⟶\frac{\pi }{2}$$である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{A_n}{B_n}=\frac{\pi \mathrm{/}2}{2}=\frac{\pi }{4}$$となる。

(3)

同じ置換により$$(2n\pi {)}^a{C}_n={\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}u{\left(\frac{2n\pi }{2n\pi +u}\right)}^{a}du$$である。同じはさみうちから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(2n\pi {)}^a{C}_n={\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}udu=\frac{\pi }{2}$$を得る。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{A_n}{C_n}=1$$である。