東北大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(t)=-12t^2+a+3$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ となる正の点は $${\displaystyle t_0=\sqrt{\frac{a+3}{12}}}$$ である。$0<a\leqq 9$ のとき $0<t_0\leqq 1$ であり、$f$ は $t_0$ で最大となる。このとき $12t_0^2=a+3$ だから $$f(t_0)=-4t_0^3+(a+3)t_0=-4t_0^3+12t_0^3=8t_0^3$$ である。よって $${\displaystyle M(a)=8{\left(\frac{a+3}{12}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\frac{(a+3{)}^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}}}$$ である。

$a\geqq 9$ のときは $t_0\geqq 1$ であり、$0\leqq t\leqq 1$ では最大は端点 $t=1$ で生じる。したがって $M(a)=f(1)=a-1$ である。$a=9$ ではどちらも8となり一致する。よって$$M(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(a+3{)}^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}}}& (0<a\leqq 9),\\ a-1& (a\geqq 9)\end{array}$$である。

(2)

接点を $(s,g(s))$ とする。接線が原点を通る条件は、接線の傾きが $g(s)\mathrm{/}s$ に等しいことなので $${\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(s)=\frac{g(s)}{s}}$$ すなわち $g(s)=s{g}^{\mathrm{\prime }}(s)$ である。

$0<s\leqq 9$ のとき $${\displaystyle g(s)=M(s{)}^2=\frac{(s+3{)}^3}{27}}$$ であり、$${\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(s)=\frac{(s+3{)}^2}{9}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{(s+3{)}^3}{27}=s\frac{(s+3{)}^2}{9}}$$ より、$s+3=3s$、すなわち $${\displaystyle s=\frac{3}{2}}$$ を得る。これは $0<s\leqq 9$ を満たす。

$s\geqq 9$ のときは $g(s)=(s-1{)}^2$ であり、条件は $(s-1{)}^2=2s(s-1)$ である。$s\geqq 9$ では $s-1\mathrm{\ne }0$ だから $s-1=2s$ となり、解はない。

よって $${\displaystyle s=\frac{3}{2}}$$ である。接線の傾きは $${\displaystyle \frac{g(s)}{s}=g^{\mathrm{\prime }}(s)=\frac{(s+3{)}^2}{9}}$$ に $s=3\mathrm{/}2$ を代入して ${\displaystyle \frac{9}{4}}$ である。

(3)

$k>0$ なので、$k^2=M(a{)}^2\mathrm{/}a$ を最小化すればよい。

$0<a\leqq 9$ のとき $${\displaystyle k^2=\frac{(a+3{)}^3}{27a}}$$ である。この対数微分に相当する計算として $${\displaystyle \frac{d}{da}\log k^2=\frac{3}{a+3}-\frac{1}{a}=\frac{2a-3}{a(a+3)}}$$ なので、$a=3\mathrm{/}2$ で最小となる。このとき $${\displaystyle k^2=\frac{(9\mathrm{/}2{)}^3}{27\cdot 3\mathrm{/}2}=\frac{9}{4}}$$ であり、$k=3\mathrm{/}2$ である。

$a\geqq 9$ のとき $${\displaystyle k^2=\frac{(a-1{)}^2}{a}=a-2+\frac{1}{a}}$$ である。$a\geqq 9$ ではこれは増加し、最小でも $a=9$ のとき $${\displaystyle k=\frac{8}{3}}$$ である。したがって全体の最小値は ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。

最大値を決める部分を微分ではなく相加・相乗平均で処理する。$t^2$ と残差の比を等号条件から定め、最後の $M(a)\mathrm{/}\sqrt{a}$ も3項の相加・相乗平均で一度に評価する。

(1)

$A=a+3$ とおく。$0\leqq t\leqq 1$ で$$f(t)=t(A-4t^2)$$である。$A-4t^2\geqq 0$ の範囲では、$X=4t^2$, $Y=A-4t^2$ とおくと $X+Y=A$ であり、$$f(t{)}^2=t^2(A-4t^2{)}^2=\frac{1}{4}X{Y}^2$$である。3つの正数 $X,Y\mathrm{/}2,Y\mathrm{/}2$ の和は $A$ だから、相加・相乗平均より$$X{\left(\frac{Y}{2}\right)}^2\leqq {\left(\frac{A}{3}\right)}^3$$である。等号は$$X=\frac{Y}{2}=\frac{A}{3}$$すなわち$$t^2=\frac{A}{12}=\frac{a+3}{12}$$のときに成り立つ。

$0<a\leqq 9$ ならこの $t$ は $[0,1]$ に入るから$$M(a)=\frac{(a+3{)}^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}}$$である。$a\geqq 9$ では $0\leqq t\leqq 1$ において $f^{\mathrm{\prime }}(t)=a+3-12t^2\geqq a-9\geqq 0$ であるから、$f$ は端点 $t=1$ まで増加し$$M(a)=a-1$$である。したがって$$M(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(a+3{)}^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}}}& (0<a\leqq 9),\\ a-1& (a\geqq 9)\end{array}$$となる。

(2)

$0<s\leqq 9$ では$$g(s)=\frac{(s+3{)}^3}{27},g^{\mathrm{\prime }}(s)=\frac{(s+3{)}^2}{9}$$である。原点を通る接線の条件 $g(s)=s{g}^{\mathrm{\prime }}(s)$ から$$s+3=3s,s=\frac{3}{2}$$を得る。$s\geqq 9$ では $g(s)=(s-1{)}^2$ であり、同じ条件は $s-1=2s$ となって解をもたない。したがって$$s=\frac{3}{2},g^{\mathrm{\prime }}(s)=\frac{9}{4}$$である。

(3)

$0<a\leqq 9$ では$$k^2=\frac{(a+3{)}^3}{27a}$$である。3つの正数 $a,3\mathrm{/}2,3\mathrm{/}2$ に相加・相乗平均を用いると$$a+3\geqq 3\sqrt[3]{\frac{9a}{4}}$$であり、$$k^2\geqq \frac{9}{4}$$を得る。等号は $a=3\mathrm{/}2$ のときに成り立つ。$a\geqq 9$ では$$k=\frac{a-1}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\geqq 3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$$である。よって全体の最小値は$$\frac{3}{2}$$である。