東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) 3つの目を小さい順に$r\leqq s\leqq t$と並べる。直角条件$r^2+s^2=t^2$を最大辺ごとに確認すると$$\begin{array}{ccccccc}t& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ (r,s)& \text{なし}& \text{なし}& \text{なし}& \text{なし}& (3,4)& \text{なし}\end{array}$$となる。したがって辺の組は$(3,4,5)$だけである。3辺が相異なるので順序付きの出方は$3!=6$通り，よって$$\frac{6}{6^3}=\frac{1}{36}\mathrm{.}$$(2) 鈍角三角形の条件は$$r+s>t,r^2+s^2<t^2\mathrm{.}$$この2条件を最大辺$t$ごとに同時に調べると$$\begin{array}{ccc}t& (r,s)& \text{順序数}\\ 1,2& \text{なし}& 0\\ 3& (2,2)& 3\\ 4& (2,3)& 6\\ 5& (2,4),(3,3)& 6+3\\ 6& (2,5),(3,4),(3,5),(4,4)& 6+6+6+3\end{array}$$である。各行は$1\leqq r\leqq s\leqq t$の全候補に対して上の2不等式を照合したものなので，漏れも重複もない。3辺が相異なる5組は各6通り，2辺が等しい3組は各3通りであり，有利な出方は$$5\cdot 6+3\cdot 3=39.$$したがって求める確率は$$\frac{39}{216}=\frac{13}{72}\mathrm{.}$$

3辺を$r\leqq s\leqq t$とし，最大辺と中辺の差$d=t-s$を導入する。三角形条件は$d<r$，鈍角条件は$r^2<d(2s+d)$となる。目が6以下なので$d=1,2$だけに絞れ，最大辺別の総当たりとは異なる短い列挙ができる。直角の場合は不等号を等号へ替える。

$r\leqq s\leqq t$とし，$d=t-s$とおく。三角形条件は$$r+s>s+d⟺d<r\mathrm{.}$$また$$t^2-(r^2+s^2)=d(2s+d)-r^2$$である。$d<r\leqq s$より$s\geqq d+1$，さらに$t=s+d\leqq 6$だから$2d+1\leqq 6$，すなわち$d=1,2$だけを調べればよい。

(1) 直角条件は$r^2=d(2s+d)$である。$d=1$では$r^2=2s+1$となり，$2\leqq s\leqq 5$のうち$s=4,r=3$だけが該当する。$d=2$では$s=3,4$を調べても該当しない。よって唯一の辺の組は$(3,4,5)$であり，$$\frac{3!}{6^3}=\frac{1}{36}\mathrm{.}$$(2) 鈍角条件は$r^2<d(2s+d)$である。有限個の候補を調べると$$\begin{array}{ccc}d& s& r\\ 1& 2& 2\\ 1& 3& 2\\ 1& 4& 2\\ 1& 5& 2,3\\ 2& 3& 3\\ 2& 4& 3,4\end{array}$$となり，辺の組は$$(2,2,3),(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,5,6),(3,3,5),(3,4,6),(4,4,6)\mathrm{.}$$3辺が相異なる5組と2辺が等しい3組があるから，有利な順序付きの出方は$$5\cdot 6+3\cdot 3=39.$$したがって$$\frac{39}{6^3}=\frac{13}{72}\mathrm{.}$$