東北大学 2015年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

2個のサイコロの目の積の出方を数える。以下、積が $r$ となる順序つきの出方の数を $N(r)$ と書く。必要な値については $$N(1)=1,N(2)=2,N(3)=2,N(4)=3,N(5)=2,N(6)=4,$$ $$N(8)=2,N(9)=1,N(10)=2,N(15)=2,N(16)=1,N(24)=2,N(25)=1$$ である。

(1)

$ab+cd=6$ となるには、積の組が $(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$ であればよい。したがって有利な出方は $N(1)N(5)+N(2)N(4)+N(3)N(3)+N(4)N(2)+N(5)N(1)$ $$=1\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 2+3\cdot 2+2\cdot 1=20$$ 通りである。全事象は $6^4$ 通りなので、求める確率は $${\displaystyle \frac{20}{6^4}=\frac{5}{324}}$$ である。

(2)

$ab-cd=1$ となるには、$ab=r$，$cd=r-1$ となる積の値を足し合わせればよい。該当する積は $r=2,3,4,5,6,9,10,16,25$ であり、それぞれの出方の数は $2,4,6,6,8,2,2,2,2$ である。よって有利な出方は $2+4+6+6+8+2+2+2+2=34$ 通りである。したがって確率は $${\displaystyle \frac{34}{6^4}=\frac{17}{648}}$$ である。