問題
を実数とする。曲線と直線を
で定める。
(1) が点を通り，とがちょうど3つの共有点をもつようなの条件を求めよ。
(2) とがちょうど3つの共有点をもつような点の軌跡を平面上に図示せよ。
方針
解法1
を，，の3部分に分け，それぞれ，，として交点を数える。(1)はを通るのでとし，中央部分と右外側部分に現れる追加交点の有効範囲を調べる。(2)は共有点数が3になる仕組みを，中央弧への内点接線で1点が重なる場合と，尖点を通って左右の式の交点が重なる場合に分類する。端点では重複数が変わるため，不等号の開閉を必ず確認する。
解法2
外側と中央の交点方程式をそれぞれ，と置く。共有点が3個になる退化を，中央部分で判別式が0になる場合と，両方の式が端点を共有する場合に代数的に分類する。
解答
解法1
曲線は
である。
(1)
直線がを通るので である。
中央部分との交点は すなわち で決まる。この方程式はを解にもち，もう一つの解はである。これが中央部分の内部にある条件は より である。
外側部分との交点は すなわち で決まる。この方程式もを解にもち，もう一つの解はである。これが右側部分にある条件はである。
したがって，のほかに中央部分の内部で1点，右側部分で1点をもつための条件は である。よって である。
(2)
共有点がちょうど3個になるのは，4個になり得る交点のうち1組が重なる場合である。重なり方は，中央部分への接線になる場合，または尖点を通る場合に分けられる。
まず中央部分の内点における接線を考える。の接線の傾きはであるから である。よりであり，を代入して を得る。このとき中央部分では接点が1個に重なり，外側部分に左右1個ずつ交点があるので，共有点はちょうど3個である。
次に左の尖点を通る場合は，(1)と同様に である。
右の尖点を通る場合はである。中央部分ではのほかに，外側部分ではのほかにが現れる。これらがそれぞれ中央の内部と左外側に入る条件は である。したがって を得る。
以上より，求める軌跡は の3部分である。
解法2
外側および中央との交点方程式を
とおく。ただしの根は，の根はのものだけを採用する。
(1)
を通るのでである。このとき
端点のほか，中央部分に，右外側にが現れる条件はである。よって
(2)
通常は交点が偶数個ずつ現れるので，3個になるには次のどちらかの退化が必要である。
中央部分で接する場合，の判別式が0だから
重根が中央の内点にある条件はである。
端点を共有する場合はであり，(1)からである。端点を共有する場合は対称性により
以上より軌跡は
の3部分である。