東北大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

曲線$C$は$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2-4& (x\leqq -2),\\ 4-x^2& (-2\leqq x\leqq 2),\\ x^2-4& (x\geqq 2)\end{array}$$である。

(1)
直線$l$が$(-2,0)$を通るので $0=-2a+b,b=2a$ である。

中央部分$-2\leqq x\leqq 2$との交点は $4-x^2=ax+2a$ すなわち $x^2+ax+2a-4=0$ で決まる。この方程式は$x=-2$を解にもち，もう一つの解は$x=2-a$である。これが中央部分の内部にある条件は $-2<2-a<2$ より $0<a<4$ である。

外側部分との交点は $x^2-4=ax+2a$ すなわち $x^2-ax-2a-4=0$ で決まる。この方程式も$x=-2$を解にもち，もう一つの解は$x=a+2$である。これが右側部分$x>2$にある条件は$a>0$である。

したがって，$(-2,0)$のほかに中央部分の内部で1点，右側部分で1点をもつための条件は $0<a<4$ である。よって $b=2a,0<a<4$ である。

(2)
共有点がちょうど3個になるのは，4個になり得る交点のうち1組が重なる場合である。重なり方は，中央部分$y=4-x^2$への接線になる場合，または尖点$(-2,0),(2,0)$を通る場合に分けられる。

まず中央部分の内点$x=t$における接線を考える。$y=4-x^2$の接線の傾きは$-2t$であるから $a=-2t,b=4+t^2$ である。$-2<t<2$より$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<4$であり，$t=-a\mathrm{/}2$を代入して $$b=4+\frac{a^2}{4},-4<a<4$$ を得る。このとき中央部分では接点が1個に重なり，外側部分に左右1個ずつ交点があるので，共有点はちょうど3個である。

次に左の尖点$(-2,0)$を通る場合は，(1)と同様に $b=2a,0<a<4$ である。

右の尖点$(2,0)$を通る場合は$b=-2a$である。中央部分では$x=2$のほかに$x=-a-2$，外側部分では$x=2$のほかに$x=a-2$が現れる。これらがそれぞれ中央の内部と左外側に入る条件は $-4<a<0$ である。したがって $b=-2a,-4<a<0$ を得る。

以上より，求める軌跡は $$b=4+\frac{a^2}{4}(-4<a<4),$$ $$b=2a(0<a<4),b=-2a(-4<a<0)$$ の3部分である。

外側と中央の交点方程式をそれぞれ$Q_{+}(x)=0$，$Q_{-}(x)=0$と置く。共有点が3個になる退化を，中央部分で判別式が0になる場合と，両方の式が端点$x=\pm 2$を共有する場合に代数的に分類する。

外側$y=x^2-4$および中央$y=4-x^2$との交点方程式を$$Q_{+}(x)=x^2-ax-b-4=0,Q_{-}(x)=x^2+ax+b-4=0$$とおく。ただし$Q_{+}$の根は$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 2$，$Q_{-}$の根は$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 2$のものだけを採用する。

(1) $(-2,0)$を通るので$b=2a$である。このとき$$Q_{-}(x)=(x+2)(x+a-2),Q_{+}(x)=(x+2)(x-a-2)\mathrm{.}$$端点$x=-2$のほか，中央部分に$x=2-a$，右外側に$x=a+2$が現れる条件は$0<a<4$である。よって$$b=2a,0<a<4.$$(2) 通常は交点が偶数個ずつ現れるので，3個になるには次のどちらかの退化が必要である。

中央部分で接する場合，$Q_{-}$の判別式が0だから$$a^2-4(b-4)=0,b=4+\frac{a^2}{4}\mathrm{.}$$重根$x=-a\mathrm{/}2$が中央の内点にある条件は$-4<a<4$である。

端点$x=-2$を共有する場合は$b=2a$であり，(1)から$0<a<4$である。端点$x=2$を共有する場合は対称性により$$b=-2a,-4<a<0.$$以上より軌跡は$$\begin{array}{c}{\displaystyle b=4+\frac{a^2}{4}(-4<a<4),}\\ {\displaystyle b=2a(0<a<4),b=-2a(-4<a<0)}\end{array}$$の3部分である。