東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $u=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$とおくと$u\geqq 0$であり，共有点では$$k=2u-\frac{1}{2}{u}^2=2-\frac{1}{2}(u-2{)}^2\mathrm{.}$$右辺の値域は$(-\mathrm{\infty },2]$だから，共有点をもつための必要十分条件は$k\leqq 2$である。

(2) 折れ線の頂点$x=a$は左右の枝に共通する。全体で相異なる4共有点をもつには，右枝に$x>a$の2根，左枝に$x<a$の2根があることが必要十分である。

右半直線は$x\geqq a$で$y=-2x+2a+b$であり，交点の$x$座標は$$x=2\pm \sqrt{4-4a-2b}\mathrm{.}$$2根がとも$a$より大きい条件は$$4-4a-2b>0,2-\sqrt{4-4a-2b}>a,$$すなわち$$a<2,-\frac{a^2}{2}<b<2-2a$$である。同様に左半直線の2根がとも$a$より小さい条件は$$a>-2,-\frac{a^2}{2}<b<2+2a$$である。したがって$$-2<a<2,-\frac{a^2}{2}<b<2-2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$これが求める領域$D$であり，境界では接触または共有点の重複が起こるため境界は含まない。

(3) 領域は$b$軸対称であるから，面積$S$は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_0^2\{(2-2a)-(-\frac{a^2}{2})\}da}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^2(2-2a+\frac{a^2}{2})da}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[2a-a^2+\frac{a^3}{6}]}_0^2=\frac{8}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$

折れ線の各半直線と放物線との差を，頂点が$x=2$または$x=-2$にある上に凸の2次関数として見る。4共有点に必要な，右枝で$x>a$の2根，左枝で$x<a$の2根という条件を，折れ線の頂点と差の頂点での符号変化に翻訳する。最後は領域を実際に図示し，対称性を用いて面積を積分する。

(1) $u=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 0$とおく。共有点では$$k=2u-\frac{1}{2}{u}^2=2-\frac{1}{2}(u-2{)}^2$$である。右辺の値域は$(-\mathrm{\infty },2]$だから，共有点をもつための必要十分条件は$k\leqq 2$である。

(2) 頂点$x=a$は左右の枝に共通するため，全体で相異なる4共有点をもつには，右枝に$x>a$の2根，左枝に$x<a$の2根が必要十分である。右枝について$$F_{+}(x)=-\frac{x^2}{2}+2x-2a-b=2-2a-b-\frac{(x-2{)}^2}{2}$$とおく。$x>a$に相異なる2零点をもつ条件は，$a<2$かつ$$F_{+}(a)<0<F_{+}(2)$$である。実際，$F_{+}$は$[a,2]$で増加し，$[2,\mathrm{\infty })$で減少するので，零点が$(a,2)$と$(2,\mathrm{\infty })$に1つずつある。整理すると$$a<2,-\frac{a^2}{2}<b<2-2a\mathrm{.}$$同様に左枝では$$F_{-}(x)=2+2a-b-\frac{(x+2{)}^2}{2}$$を考え，$x<a$に2零点をもつ条件は$$a>-2,F_{-}(a)<0<F_{-}(-2),$$すなわち$$a>-2,-\frac{a^2}{2}<b<2+2a\mathrm{.}$$以上から$$-2<a<2,-\frac{a^2}{2}<b<2-2\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$$を得る。境界は4共有点にならないので含まない。

(3) 領域は$b$軸対称であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_0^2(2-2a+\frac{a^2}{2})da}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[2a-a^2+\frac{a^3}{6}]}_0^2=\frac{8}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$