東北大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

各頂点での内積を調べる。点 $A$ では $$\overrightarrow{AB}=(4,0),\overrightarrow{AP}=(t+2,\sqrt{3}t)$$ であるから $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}=4(t+2)>0$$ であり、角 $A$ は常に鋭角である。

点 $B$ では $$\overrightarrow{BA}=(-4,0),\overrightarrow{BP}=(t-2,\sqrt{3}t)$$ なので $$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BP}=-4(t-2)$$ である。したがって角 $B$ が鋭角である条件は $t<2$ である。

点 $P$ では$$\overrightarrow{PA}=(-t-2,-\sqrt{3}t),\overrightarrow{PB}=(2-t,-\sqrt{3}t)$$である。よって $$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(-t-2)(2-t)+3t^2=4t^2-4$$ であり、角 $P$ が鋭角である条件は $t>1$ である。$t>0$ も合わせて、求める範囲は $1<t<2$ である。

(2)

垂心を $H$ とする。$AB$ は $x$ 軸上の水平な線分であるから、$P$ から $AB$ に下ろす垂線は $x=t$ である。したがって $H$ の $x$ 座標は $t$ である。

次に、$BP$ の傾きは ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}t}{t-2}}$ である。よって $A$ を通り $BP$ に垂直な直線の傾きは ${\displaystyle -\frac{t-2}{\sqrt{3}t}}$ であり、その方程式は $${\displaystyle y=-\frac{t-2}{\sqrt{3}t}(x+2)}$$ である。ここに $x=t$ を代入すると $${\displaystyle y=-\frac{(t-2)(t+2)}{\sqrt{3}t}=\frac{4-t^2}{\sqrt{3}t}}$$ となる。したがって ${\displaystyle H(t,\frac{4-t^2}{\sqrt{3}t})}$ である。

(3)

中点を結ぶ3本の線分で折ると、中央の三角形 $MQR$ を底面とし、3つの外側の小三角形が折り上がって1つの頂点を作る。4つの面はいずれも、もとの三角形 $ABP$ を相似比 $1\mathrm{/}2$ にした三角形である。

したがって折り上がってできる四面体では、向かい合う辺の長さがそれぞれ等しく、その3種類の長さは $2,\sqrt{t^2+t+1},\sqrt{t^2-t+1}$ である。実際、$AB=4$，$AP=2\sqrt{t^2+t+1}$，$BP=2\sqrt{t^2-t+1}$ であるから、その半分の長さが現れる。

向かい合う辺が等しい四面体は、適当な正の数 $u,v,w$ を用いて $(u,v,w),(u,-v,-w),(-u,v,-w),(-u,-v,w)$ を4頂点にもつ形に置ける。このとき向かい合う辺の長さを上の順に対応させると $${\displaystyle u^2=\frac{t^2-1}{4},v^2=\frac{2-t}{4},w^2=\frac{2+t}{4}}$$ となる。$1<t<2$ ではいずれも正である。

この四面体の体積 $V$ は、1つの頂点から出る3本のベクトルの行列式を用いて $${\displaystyle V=\frac{8uvw}{3}}$$ である。よって$$V^2=\frac{64u^2{v}^2{w}^2}{9}=\frac{(t^2-1)(2-t)(2+t)}{9}=\frac{(t^2-1)(4-t^2)}{9}$$である。

ここで $s=t^2$ とおくと、$1<t<2$ より $1<s<4$ であり、$${\displaystyle V^2=\frac{(s-1)(4-s)}{9}}$$ である。これは $s=5\mathrm{/}2$ のとき最大となり、その最大値は $${\displaystyle \frac{(3\mathrm{/}2)(3\mathrm{/}2)}{9}=\frac{1}{4}}$$ である。したがって $${\displaystyle t=\frac{\sqrt{10}}{2},V_{\max }=\frac{1}{2}}$$ である。

(1) は3辺の平方を比較して各角の鋭角条件を出す。(2)は高さ上の点を内積条件で決める。(3)は折り上げ後の1頂点から出る3辺の内積を6本の辺長だけで復元し、グラム行列式から体積を求める。

(1)

3辺の長さの平方は$$A{B}^2=16,A{P}^2=4(t^2+t+1),B{P}^2=4(t^2-t+1)$$である。角 $A$ は$$A{B}^2+A{P}^2-B{P}^2=16+8t>0$$より常に鋭角である。角 $B$ が鋭角である条件は$$A{B}^2+B{P}^2>A{P}^2⟺16-8t>0⟺t<2$$である。角 $P$ が鋭角である条件は$$A{P}^2+B{P}^2>A{B}^2⟺8(t^2+1)>16⟺t>1$$である。したがって$$1<t<2$$となる。

(2)

$AB$ が水平なので、垂心を $H=(t,h)$ とおける。$AH$ と $BP$ が垂直であることから$$\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BP}=(t+2,h)\cdot (t-2,\sqrt{3}t)=0$$である。よって$$t^2-4+\sqrt{3}th=0,h=\frac{4-t^2}{\sqrt{3}t}$$となり、$$H(t,\frac{4-t^2}{\sqrt{3}t})$$である。

(3)

折り上げ後の四面体では向かい合う辺が等しく、その3種類の辺長を$$c=2,p=\sqrt{t^2+t+1},q=\sqrt{t^2-t+1}$$と書ける。1頂点から出る3本の辺ベクトルを $\mathit{u},\mathit{v},\mathit{w}$ とし、$$\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }=c,\mathrm{\mid }\mathit{v}\mathrm{\mid }=p,\mathrm{\mid }\mathit{w}\mathrm{\mid }=q$$と対応させる。反対側の3辺の長さもそれぞれ $q,p,c$ なので、余弦定理に相当する内積計算から$$\mathit{u}\cdot \mathit{v}=2+t,\mathit{u}\cdot \mathit{w}=2-t,\mathit{v}\cdot \mathit{w}=t^2-1$$を得る。

したがってグラム行列は$$G=\left(\begin{array}{ccc}4& 2+t& 2-t\\ 2+t& t^2+t+1& t^2-1\\ 2-t& t^2-1& t^2-t+1\end{array}\right)$$であり、展開すると$$\det G=4(t^2-1)(4-t^2)$$となる。四面体の体積を $V$ とすれば$$(6V{)}^2=\det G$$だから$$V^2=\frac{(t^2-1)(4-t^2)}{9}$$である。$s=t^2$ とおくと $1<s<4$ であり、$$(s-1)(4-s)=\frac{9}{4}-{(s-\frac{5}{2})}^2$$より $s=5\mathrm{/}2$ のとき最大となる。ゆえに$$t=\frac{\sqrt{10}}{2},V_{\max }=\frac{1}{2}$$である。